Всектор радиуса r и с центральным углом альфа вписан круг. выразите радиус круга и отношение площадей круга и сектора. вычислите это отношение, если угол альфа=60

 

 

1) достроим треугольник аво -равносторонний, он -высота (   медиана, биссектриса)к ав, он=r . поскольку о1 - центр вписанного в сектор , а так же треугольник оав круга, то оо1=2*о1н (по свойству медианы) , т.е. r =1/3r 

2)   sсек=1/2 r* l дуги   lд=π  r n / 180*         sсек= 1/2 r   π  r  /180* 

s сек= 1/6  π r2            sкр= π  (1/3r )2  =   1/9  π  r2           sсeк /   s кр =   1/6  π r2    /   1/9  π  r2        

  sсeк /   s кр = 3 / 2

Найдем боковую поверхность. развернем   боковую поверхность   конуса. получим   сектор с   радиусом равным   образующей ,и   длинне   дуги сектора   равной   длинне   окружности основания   конуса. откуда можно найти угол   сектора: lсек=l*ф=2*π*r (ф-угол   сектора   в   радианах ф=2*π*r/l sсек=π*l^2 *ф/2π= l^2 *2*π*r/2*l=π*r*l площадь сектора равна   площади боковой   поверхность   конуса: sбок=scек=π*r*l sпол=sбок+sосн=π*r*l+π*r^2=πr*(l+r) чтд

Треугольник abd тоже равнобедренный, ad = bd =12; (то есть у треугольника abd известны все три стороны ab = 18; ) с ходу в голову приходит воспользоваться теоремой косинусов, и тем, что углы adb и cdb - дополнительные. если (для максимальной краткости записи) обозначить 2*cos(ф) = z; где ф - это угол cdb; и dc = x; то 12^2 + 12^2 + 12*12*z = 18^2; 12^2 + x^2 - 12*x*z = 18^2; откуда конечно можно найти x = dc; дальше техника. вместо того, чтобы находить из первого уравнения z и подставлять во второе, можно заметить, что x^2 - 12*x*z = 12^2 + 12*12*z; или x^2 - 12^2 = 12*(x + 12)*z; 12*z = x - 12; если это подставить в первое уравнение, получится 12^2 + 12^2 + 12*(x - 12) = 18^2 = 12*27; 12 + 12 + x - 12 = 27; x = 15; все это хорошо, но есть совсем элементарное решение. очевидно, что треугольники abd и abc подобны - это равнобедренные треугольники с одинаковыми углами при основаниях. треугольник abd подобен треугольнику (2,2,3) с коэффициентом 6, то есть (12,12,18); а треугольник abc имеет боковую сторону 18, то есть коэффицент подобия 9 с тем же треугольником (2,2,3) то есть его основание ac = 27; откуда dc = 15;