Площадь треугольника авс равна 198. биссектриса al пересекает медиану вм в точке к. найдите площадь четырёхугольника мсlк, если известно, что вl: cl=7: 4. (сделайте чертёж)

да не нужен тут чертеж, тут голова нужна : ). просто постройте какой-то треугольник и проведите в нем биссектрису угла а и медиану к стороне ас. 

смотрите, как это решается.

если площадь авс равна s (по условию это 198, потом подставим), то площадь авm равна s/2. 

sabm = s/2

(если у двух треугольников общая высота - в данном случае это растояние от в до ас, то отношение площадей равно отношению сторон, к которым эта высота проведена - это будет использовано еще несколько раз)

далее, cl/bl = 4/7 = ac/ab, и ам = ас/2, поэтому ам/ab = 2/7, но это означает, что mk/kb = 2/7;

то есть мк/bm = 2/(2 + 7) = 2/9 и kb/bm = 7/9 (ясно, что в сумме 1 и отношение 2/7)

но это означает, что площадь амk составляет 2/9 площади авм (высота общая, расстояние от а до вм, стороны относятся как мк/bm =  2/9)

samk = sabm*2/9 = s/9;

ну, и  cl/bl = 4/7, поэтому cl/cb = 4/(4 + 7) = 4/11;

то есть площадь треугольника acl соствляет 4/11 площади авс (тот же прием - высота общая - это расстояние от а до вс, стороны относятся как 4/11).

sacl = s*4/11;

площадь mclk равна разности площадей треугольников acl и amk 

smclk = sacl - samk = s*4/11 - s/9;

ну, и осталось подставить s = 198.

smclk = 198*4/11 - 198/9 = 18*4 - 22 = 72 - 22 = 50;

возьмём треугольник abc ( угол в=90 градусов), в котором вн -высота, вm - медиана

медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы, соответственно вm = аm=cm=41 см.

в треугольнике внm найдём нm по теореме пифагора:

нm=√(41²-40²)=√(1681 - 1600) = 9 см.

3)тогда aн = am - нm =41 - 9 = 32 см.

тогда сторона ав по теореме пифагора равна:

ав=√(40² + 32²)=√(1600 + 1024) = √2624 = 8√41 см.

аналогично сторона вс равна:

вс = √(82² - (8√41²) = √(6724 - 2624) = √4100 = 10√41 см.

теперь все стороны треугольника авс известны, биссектрису вк в нём из вершины в можно найти несколькими способами.

можно применить готовую формулу:

вк = (2/(а + с)*√(аср(р - здесь полупериметр р = 98,628118 см.

подставив данные, получим вк = 40,246156 см.

можно по теореме косинусов.

тангенс угла с равен (8√41 /10√41 ) = 4/5.

косинус с = 1/(√(1 + (4/5)²) = 5/√41.

находим ск по свойству биссектрисы ав/ак = вс/ск.

ск/10√41   = (82 - ск)/8√41.

отсюда находим ск = (410/9) см.

тогда биссектриса вк равна:

вк = √((10√41)² + (410/9)² - 2*(10√41)*(410/9)*(5/√41 ) = 40,24616 см.  

даны координаты вершин треугольника авс, а(2; -4), в(-2; -1),с(4; 1). аналитической :

1) составить уравнение стороны ab;  

ав : х-ха = у-уа

хв-ха   ув-уа

        х - 2) / (-4) = (у + 4) / 3.

ав : 3х + 4у + 10 = 0

ав:   у = -0,75х - 2,5

2) составить уравнение высоты сн, проведенной из вершины c;  

к(сн) = -1/к(ав) = -1/-0,75 = 4/3.

сн: у = (4/3)х + в. для определения "в" подставим координаты точки с:

1 = (4/3)*4 + в,   в = 1 - (16/3) = -13/3. тогда ск: у = (4/3)х - (13/3).

3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины b;  

расчет длин сторон     квадрат

ав (с) = √((хв-ха)²+(ув-уа)²) = √25 = 5.

bc (а)= √((хc-хв)²+(ус-ув)²) = √40 = 6,32455532

ac (в) = √((хc-хa)²+(ус-уa)²) = √29 =   5,385165.

по формуле герона находим площадь:

s = √(p(p-a)(p-b)(p- полупериметр р = 16,70972.

подставив значения величин, находим s = 13 кв.ед.

можно применить готовую формулу определения площади треугольника по координатам вершин.

s=(1/2)*|(хв-ха)*(ус--ха)*(ув-уа)| = 13 кв.ед.

тогда высота из точки в равна: 2s/ac = 2*13/√29 = 4,82808.