Докажите, что биссектрисы, проведенные из углов треугольника, делят его на три равновеликих треугольника

биссектисы треугольника сходятся все в одной точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности. высоты всех этих треугольников равны между собой h1=h2=h3=r и равны радиусу вписанной окружности.

площадь каждого тр-ка равна половине произведения стороны на высоту s=a*h/2.

поскольку стороны тр-ка не равны между собой, то при равных высотах не равны и площади тр-ков.

ответ:     биссектрисы, проведенные из углов треугольника, делят его на три равновеликих треугольника только в равностороннем треугольнике. чтобы получить равновеликие треугольники проведите медианы.

Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только один. доказательство: предположим, что на плоскости, которой принадлежат и прямая, и точка, таких перпендикуляров существует два. поскольку точка вне прямой принадлежит обоим перпендикулярам, получаем треугольник с вершиной в этой точке и основанием, расположенном на прямой. так как оба перпендикуляра составляют с прямой углы по 90° (углы при основании треугольника) плюс угол при вершине, то сумма внутренних углов такого треугольника получается больше 180°, - а это на плоскости осуществить невозможно. следовательно, наше предположение о том, что через одну точку к данной прямой на плоскости можно провести больше одного перпендикуляра, - не верно и такой перпендикуляр существует только один. теорема доказана. 

Высота пирамиды=8*sin60=8*v3/2=4v3 высота основания (треугольника) =8/2+2=6 сторона основания=6/(v3/2)=6*2/v3=12/v3 объём=4v3*(12/v3)^2/(4v3)=144/3=48 диагональ ромба равна d^2=l^2-h^2 d^2=(15)^2-9^2=144 d=12 и половина диагонали равна d/12=6 сторона ромба равна p/4=40/4=10 так как в ромбе в точке пересечения делятся по полам и перпендикулярные то половина второй диагонали равна d1^2=a^2-(d/2)^2=100-36=64 d1^2=8 и вся диагональ равна 16 площадь ромба равна s=d1*d2/2=12*16/2=96 a объем параллелепипеда равен v=sосн *h=96*9=864