Дан цилиндрс высотой равной корень из 6 и радиусом основания 5. в нижнем основании цилиндра проведена хорда mn длины 6 и на ней взята точка k, делящая её в отношении 2: 1. через точку k проведена плоскость, перпендикулярная mn и пересекающая верхнее основание цилиндра по хорде pq. найдите объём пирамиды mnpq.

пусть ав - хорда окружности в основании, перпендикулярная mn и проходящая через точку к. расстояние от центра окружности до этой хорды ав равно 1 (это просто - кn равно 2, а половина mn равна 3, разность как раз и есть расстояние от центра до хорды ав, содержащей точку к).

поэтому (ав/2)^2 = r^2 - 1^2 = 24;   ab/2 = 2*√6;

ab = pq = 4*√3;

площадь сечения pqab равна (√6)*(4*√6) = 24;

площадь треугольника kpq равна половине площади этого прямоугольника pqab, то есть skpq = 12. 

объем пирамиды mnpq равен сумме объемов пирамид mkpq и nkpq, и равен 

v = (1/3)*skpq*(mk+kn) =  (1/3)*skpq*mn =  (1/3)*12*6 = 24;

Задача 1

угол АВС= 180- угол КВС=180-108=72°(т.к смежные углы в сумме дают 180°)

угол ВСА=180- угол ВСD= 180-137=43°(т.к смежные углы в сумме дают 180°)

угол А=180- угол АВС- угол ВСА=180-72-43=65°(сумма всех углов в треугольнике равна 180°)

ответ:65; 72;43

Задача 2

внешний угол равен сумме двух противоположных внутренних

Угол С= угол А + угол В

145=3х+17+7х+28

-10х=-100

х=10

Угол А = 3х+17°=30+17=47°

ответ:47°

Задача 3

Угол А внешний= углу САВ=60° (т.к вертикальные)

Угол В=180- угол САВ - -уголС=180-60-90=30

Опустим высоту СК

т.к угол В=30°, то СК=1/2ВС=3,9(т.к катет лежащий против 30° равен половине гипотенузы)

ответ: 30; 3,9

рис1: С=180°-угол В-угол А=180°-60°-50°=70°

рис 2: угол F=180°-угол Е-угол D=180°-90°-20°=70°

рис 3:. треугольник KMN рвб, отсюда следует угол К =углу N=(180°-50°):2=65°

рис 4: треугольник СDA рвб, отсюда следует угол С=углуА=30°, угол D= 180°-угол В-угол С=180°-60°=120°

рис 5: треугольник АВD рвб+прямоугольный,отсюда следует угол D=углу А=45°

рис 6: треугольник КСЕ равносторонний,отсюда следует углы равны 180°:3=60°

рис 7: угол D=180°-угол А=110°(внешний угол А)

треугольник ВDC равнобедренный,отсюда следует угол В =углу С= (180°-110°):2=35°, угол F=180°-угол С= 180°-35°=145°

рис 8: угол А= 180°- уголР=30°(угол Р внешний)

уголN=180°- угол А-угол F=180°-70°-30°=80°