:диагонали ас и вd четырёхугольника авсd пересекаются в точке о, ао = 18 см, ов = 15 см, ос = 12 см, оd = 10 см. докажите, что авсd - трапеция.

рассмотри треугольники вос и аод, они будут подобны(две стороны и угол между ними: 12/18=10/15=2\3,угол вос=уголаод так как вертикальный ), из подобия следут равенство углов вса и дас, а эти углы также равны как накрестлежащие при вс//ад, отсюда авсд- трапеция чтд.

1.из теоремы косинусов находим косинус угла между заданными сторонами x.

10^2 + 12^2 - 2*12*10*x = 34; x = 7/8;

теперь найдем третью сторону

10^2 + 24^2 - 2*24*10*(7/8) = 256; то есть третья сторона 16.

полупериметр треугольника со сторонами 10,16,24 равен 25.

находим площадь по формуле герона. 25 - 10 = 15, 25 - 16 = 9, 25 - 24 =1,

корень(25*15*9*1) = 15*корень(15); делим это на полупериметр 25, получаем радиус вписанной окружности r = 3*корень(15)/5.

2. x + y = 12;

    x + z = 9;

    z + y = 6;

x - y = 3; 2*x = 15, x = 7/2, y = 9/2, z = 3/2;

3. здесь есть волшебное построение : )) надо провести через вершину меньшего основания прямую ii диагонали, которая не содержит эту вершину, а соединяет две других. большое основание тоже надо продолжить, пока эти прямые не пересекутся. получится треугольник, у которого сторона, являющаяся продолжением большого основания трапеции, равна сумме оснований трапеции, а   две другие стороны - диагонали трапеции. поскольку нам задано, что это получился прямоугольный треугольник со сторонами 12 и 16, то гипотенуза этого треугольника 20 (тр-к подобен "египетскому" 3,4,5), а средняя линяя трапеции 10.

пусть наклонные проведены из точки а и пересекают плоскость в точках в и с. перпендикуляр, опущенный их точки а на плоскость пересекает её в точке д. поскольку наклонные ас и ав образуют одинаковые углы с перпендикуляром ад, то они равны между собой. обозначим их  ав = ас = х.

поскольку наклонные ас и ав одинаковые, то и проекции их дв и дс одинаковые и равны: дв =дс = х·sin45° = x/√2

плоскость, образованная наклонными пересекает плоскость по прямой вс. треугольник авс - равнобедренный, т.к. ав = ас, имеет угол при вершине 60°, следовательно два другие угла равны (180° - 60°): 2 = 60°. и тр-к авс равносторонний. тогда вс = ав = ас = х.

применив к тр-ку вдс теорему косинусов, найдём угол между проекциями дв и дс, обозначив его α.

вс² = дв² + дс² - 2дв·дс·cos α

x² = (x/√2)² + (x/√2)² - 2(x/√2)·(x/√2)·cos α

x² = 0.5x² + 0.5x² - 2·0.5x²·cos α

1 = 0.5 + 0.5 - cos α

cos α = 0

α = 90°