Объём прямой призмы, основание которой - правильный треугольник, равен 18 корней из 3 см кубических, её высота равна 8 см. найти сторону основания призмы.

v=s осн*h

s осн= 

a=3 см

ответ: 3 см 

Если все боковые ребра наклонены под одним углом к основанию пирамиды, все боковые ребра равны, а вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности. центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, т.е. основанием высоты (so)  пирамиды явялется середина гипотенузы (ac) основания пирамиды.  в прямоугольном треугольнике abc: катет ab = a ∠abc = 90° ∠acb = f тангенсом  ∠acb явялется отношение противолежащего ему катета ab к прилежащему катету bc. tg(acb) = ab / bc bc = ab / tg(acb) bc = a / tg(f) площадь основания пирамиды sabc: sосн = 1/2 * ab * ac sосн = 1/2 * a * a / tg(f) = a² / (2tg(f)) синусом  ∠acb является отношение противолежащего ему катета ab к гипотенузе ac sin(acb) = ab / ac ac = ab / sin(acb) ac = a / sin(f) co = ac / 2                     a co = 1/2 * a/sin(f) =                                       2sin(f) в прямоугольном треугольнике soc: катет co = a / (2sin(f)) ∠sco =  β so = h пирамиды тангенсом  ∠sco является отношение противолежащего ему катета so к прилежащему катету co tg(sco) = so / co so = co * tg(sco) so = co * tg β                                             a * tg β so = a / (2sin(f))  * tg β =                                             2sin(f) объем пирамиды v = 1/3 * sосн * h           1               a²                 a * tg β           a³ * tg  β v = * * =           3               2tg(f)             2sin(f)           12 * tg(f) * sin(f)

Призма с прямоугольным треугольником в основании ,  так как ab^2+bc^2=ac^2 поместим центр координат в точку в, ось x - ва, ось у - вс, ось z - вв1 координаты интересующих точек  a1(1; 0; 1) b(0; 0; 0) c1(0; 1; 1) b1(0; 0; 1) плоскость a1bc1 проходит через 0 - посему ее уравнение  ax+by+cz=0 подставим координаты точек в уравнение a+c=0 b+c=0 положим a=1 тогда с=-1 b=1 x+y-z=0 нормализованное уравнение плоскости  k=√(1+1+1)=√3 1/√(3)x+1/√(3)y-1/√(3)z=0 подставим координаты точки b1(0; 0; 1) в нормализованное уравнение l =| -1/√3 |= √3/3 - это искомое расстояние до плоскости.