Стороны прямоугольника относятся как 9: 1, а их разность равна 32 см. найти : а) площадь прямоугольника; б) сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника.

обозначим за а меньшую сторону прямоугольника, другая будет 9а, разность их - 9а-а=32, 8а=32, отсюда а=4 см, а 9а=36 см. s=a*9a=9a^2=9*16=144 cm^2, равновеликий по площади квадрат будет со стороной v(144)=12 cm.

Нужно  провести  из  этого же угла  диагональ.  эти  треугольники,  на  которые  диагональ  разделит  ромб  -  ровнобедреные.  высота  в  том  треугольнике  есть  медианой  потому  что  делит                  сторону  пополам.  получаеться  что  этот  треугольник  ровносторонний.  а  в  ровностороннем  треуголинике  все  углы  ровные  (по  60  градусов).  а  дальше  там  просто:   противоположный  угол=60  градусов,  а  два соседних  по  120градусов.

4  к окружности с центром в точке о проведены из точки в касательные ав и вс (а и с - точки касания),  окружность пересекает отрезок ов в точке т.  ∠авт=30°. доказать, что т - точка пересечения биссектрис ∆ авс.   нарисуем окружность и касательные ва и вс.  соединим а и с с центром окружности и с точкой в. ав=вс как отрезки касательных из одной точки,  ао=ос - радиусы,  ов - общая сторона.    ∠овс=∠аво=30°.  точка т лежит на во  во -   гипотенуза треугольника, в котором катет, противолежащий углу 30°, равен r.  от - радиус => вт=от. проведем ак и ср через точку т до пересечения с ав и ас. треугольники аот и тос образованы радиусами, они равнобедренные и равносторонние, так как центральные углы в них являются и углами прямоугольных треугольников, в которых один из острых углов ( при в) равен 30°.  следовательно, центральные углы аот и тос равны 60°. ас диагональ ромба и является биссектрисой углов ромба аост.=> ∠ тас=∠тса=30° и отсюда ср и ак - биссектрисы углов а и с.  но и вм биссектриса треугольника авс.    точка т является точкой пересечения биссектрис треугольника авс.  ================================================================== 5 вершины а, в, с и д куба авсда₁в₁с₁d₁ лежат на окружности. точкa о - середина ребра аd. хорда окружности проходит через точку о и параллельна отрезку ас . вычислить длину этой хорды, если площадь поверхности куба равна 384 см² обозначим концы хорды к и р  проведем в окружности диаметр вd, который   является  хордой и диагональю   вписанного   квадрата. хорда кр делит диаметр на две части  вм и мd. так как кр содержит среднюю линию треугольника аdс, высота треугольника=радиус еd разделен в точке м пополам. md=1/4 диаметра окружности, вм=3/4 диаметра  произведения отрезков каждой хорды, получившихся при   пересечении этих хорд, равны.  диагонали квадрата при пересечении делятся пополам и перпендикулярны друг другу.   хорда параллельна диаметру.  диаметр делит хорду, к которой он перпендикулярен, пополам.  пусть км=мр=х  тогда х²=1/4 d×3/4 d=(3/16)d   х=0,25√3 d   кр=2х=0,5√3 d   длина диаметра окружности равна диагонали грани куба.  ребро куба найдем из площади его поверхности.  граней у куба 6, площадь каждой а²=384: 6=64см²   ребро куба равно а= √64=8см   диагональ грани равна 8√2см  (d=a√2 ) длина хорды  кр=(0,5√3)×8√2= 4√6 см