Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см , а ее апофема образует с плоскостью основания угол в 30 градусов. найти объем пирамиды.

для начала найдем отрезок ol, где точка o - центр квадрата, лежащего в основании в эту же точку опускается высота, l- точка пересечения апофемы с плоскостью основания или боковой стороной квадрата основания, что одно и то же.ol=h*ctg60, где h - высота, ctg60 - катангенс угла в 60 градусов (это будет половина стороны квадрата, лежащего в основании).ol=6 корней из 3.площадь основания: s=(2*ol)^2, или сторона основания в квадрате.s=(2*6 sqrt(3))^2 = 4* 36 *3 =432 кв.смv=s*h/3=432*6/3=432*2=864 куб. смвсе. ответ = 864 куб.см

Площадь круга находится по формуле s=πr² так как треугольник равносторонний, то радиус окружности равен расстоянию от центра окружности до вершин треугольника. центр описанной около равностороннего треугольника окружности лежит в точке пересечения медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины. следовательно радиус описанной окружности составляет две трети от длины медианы. если обозначить треугольник как авс, о - центр окружности, во - радиус окружности, вf - медиана: r=во=2/3 *  bf медиана равностороннего треугольника равна: bf=(a√3)/2 (по теореме пифагора вf=√(a²-(a/2)²)=√((4a²-a²)/4)=a√3/2 ) a - сторона треугольника отсюда радиус: r=2/3 * a√3/2 = a√3/3 подставляем в формулу площади круга: s=π * (a√3/3)² = 3πa²/9  =  πa²/3 =  π*(2√3)²/3 = 4π  ≈ 12,56 см²

Правило треугольника размножаем на 6 (и сколь угодно) векторов: начало следующего из конца предыдущего, по окончании замкнуть из начала первого в конец последнего (в этой 6го). это и будет суммарный вектор. если упорядочить вектора по углу поворота (уменьшения или увеличения), получится картинка многоугольника (здесь 7 угольника), треугольник -частный случай аналогично правило параллелограмма: начала всех векторов приводим в одну точку, а дальше попарно суммируем: диагональ предыдущей пары берем как сторону нового пар-ма и суммируем со следующим вектором. варианты: просуммировать попарно 3 пары, затем полученные диагонали между собой