На сторонах ab , bc и ac треугольника abc взяты точки k , l и t соответственно , причем lc\bl= 2\7 . найдите площадь треугольника abc , если kblt−параллелограмм с площадью, равной 7.

пусть lc=2x, тогда bl=7x 

кт=bl=7x(по свойствам параллелограмма)теперь рассмотрим треугольники авс и актуга=уг.а(общий)угакт=угавс(т. к. это соответственные углы при параллельных кт и ас, параллельны они потому что кт||bl по свойствам параллелограмма, а прямая ас содержи bl)следовательнор акт подобен авс, отсюда   

теперь рассмотрим треугольники авс и ltcугc=уг.c(общий)угclt=угabc(т. к. это соответственные углы при параллельных lт и аb, параллельны они потому что lт||bk по свойствам параллелограмма, а прямая аb содержи bk)следовательнор lcт подобен авс, отсюда  но нам известно что sabc=sakt+sltc+skblt отсюда 

Пирамида усечена плоскостью, параллельной основанию.

Отсеченная пирамида подобна исходной 6:8 =3:4

Следовательно, части, заключенные между плоскостями, относятся к исходным 1:4.

Найдем высоту и апофему исходной пирамиды.

Правильная пирамида, в основании квадрат, вершина падает в центр основания.

Центр описанной окружности квадрата - пересечение диагоналей.

Диагонали квадрата перпендикулярны, равны, точкой пересечения (O) делятся пополам.

AO =AB sin45 =8*√2/2 =4√2

SO⊥(ABC), SAO=60

SO =AO tg60 =4√2*√3 =4√6 (исходная высота)

Боковые грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани - апофема - является медианой.

K - середина AB, KO=AB/2=4 (медиана из прямого угла)

SK =√(SO^2+KO^2) =4√(1+6) =4√7 (исходная апофема)

OO1/SO =KK1/SK =1/4

высота усеченной пирамиды OO1=√6 (см)

апофема усеченной пирамиды KK1=√7 (см)

Герон александрийский – греческий учёный, работавший в александрии. автор дошедших до нашего времени работ, в которых систематически изложил основные достижения античного мира в области прикладной механики. в известном двухтомном сочинении "пневматика" описал различные механизмы, приводимые в движение нагретым или сжатым воздухом или паром: эолипил, т. е. шар, вращающийся под действием пара, автомат для открывания дверей, насос, различные сифоны, водяной орган, механический театр марионеток и т.д. в "механике" подробно рассмотрел простейшие механизмы: рычаг, ворот, клин, винт и блок. используя зубчатую передачу, построил прибор для измерения протяжённости дорог, основанный на том же принципе, что и современные таксометры. создал автомат для продажи "священной" воды, который явился прообразом наших автоматов для отпуска жидкостей. механизмы и автоматы герона не нашли сколько-нибудь широкого практического применения и употреблялись в основном в конструкциях механических игрушек. исключение составляют только гидравлические машины герона, при которых были усовершенствованы античные водочерпалки. в сочинении "о диоптре" изложил правила земельной съёмки, фактически основанные на использовании прямоугольных координат. здесь же дал описание диоптра – прибора для измерения углов – прототипа современного теодолита. в сочинении "катоптрика" обосновал прямолинейность световых лучей бесконечно большой скоростью их распространения. привёл доказательство закона отражения, основанное на предположении о том, что путь, проходимый светом, должен быть наименьшим из всех возможных (частный случай принципа ферма). исходя из этого принципа, рассмотрел различные типы зеркал. в трактате "об изготовлении метательных машин" изложил основы античной артиллерии. работы герона являются энциклопедией античной прикладной . в "метрике" даны правила и формулы для точного и приближённого расчёта различных фигур, например формула герона для определения площади треугольника по трём сторонам, правила численного решения квадратных уравнений и приближённого извлечения квадратных и кубических корней. в основном изложение в трудах герона догматично – правила часто не выводятся, а только выясняются на примерах.