Около трапеции abcd с основаниями ad и bc описана окружность радиуса 5. центр описанной окружности лежит на основании ad. основание bc равно 6. найдите диагональ ac трапеции.

опустим перпендикуляры (они же высоты) bk и cl на большее основание ad. т. к. по свойству описать окружность можно только около равнобедренной трапеции, то проекции ak и ld ее боковых сторон на основание равны (проекции - это катеты двух образующихся прямоугольных треугольников, лежащие на основании ad). т. к. центр описанной окружности o лежит на основании ad, то значит ad - диаметр, и равен ad=d=2r=2*5=10. тогда ak=ld=(10-6)/2=4/2=2.

опустим в равнобедренном (т. к. bo=co=r) высоту oh, она же медиана. значит в прямоугольном треугольнике bho гипотенуза равна 5, а один из катетов равен 6/2=3. тогда по теореме пифагора второй катет (искомая высота) будет равен √(25-9)=√16=4. т. к. это трапеция, то все высоты равны и cl=oh=4. в прямоугольном треугольнике  cld гипотенуза cd равна √(4+16)=√20=2√5, значит  coscdl=2/2√5=1/√5=√5/5.  запишем теорему косинусов дла треугольника acd: ac²= ad²+cd²-2*ad*cd*coscdl

                                                                                                                                                                                ac²= 10²+(2√5)²-2*10*2√5*√5/5

                                                                                                      ac²= 100+20-2*10*2√5*√5/5

                                                                                                                                                                                                  ac²= 120-40=80

                                                                                                                                        cледовательно ac=√80=4√5

ответ: 4√5

1. найдем координаты точки середин диагоналей ас и bd четырехугольника abcd: по формулам координат середины отрезка находим координаты середины отрезка ас (1; 0.5) находим координаты середины отрезка bd (1; 0.5) как видим диагонали четырехугольника abcd пересекаются и в точке пересечения делятся пополам (так как найденные координаты середины диагоналей одинаковы) по признаку параллелограмма (если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм), четырехугольник abcd - параллелограмм 2. теперь, найдем длины диагоналей по формуле расстояния между двумя точками, заданными своими координатами диагонали равны по признаку прямоугольника (параллелограмм, у которого диагонали равны является прямоугольником)   - данный четырехугольник является прямоугольником доказано

  достаточно доказать, что  rptq  – равнобокая трапеция. четырёхугольник  ardq  – вписанный, поэтому   ∠rqd  = ∠dar.  также, поскольку четырёхугольник  abcd    – вписанный, то   ∠bcd  = 180° – ∠dar.  cледовательно,   ∠rqd  + ∠bcd  = 180°,  то есть прямые  pt  и  rq  параллельны.

  докажем теперь, что в трапеции  rptq  диагонали равны. четырёхугольник  apcq  вписан в окружность с диаметром  ac, поэтому  pq = ac·sin∠bcd.  aналогично,   rt = bd·sin∠abc.  но из вписанности четырёхугольника  abcd  следует, что      значит,   pq = rt,  то есть трапеция – равнобокая.