Впрямоугольнике abcd точки m и k середины сторон ab и ad соответственно. на прямой ac взята точка p , на прямой bd точка e, m p ⊥ ac, ke ⊥ bd. известно, что 4ke=ad. найдите отношение сторон ар и рс.

находим соотношение де и ад по теореме пифагора(смотри рисунок).далее из подобия прямоугольных треугольников авд и кед(у них угол адв общий) находим отношение  ав к ад. пусть единица пропорции равна х, тогда по теореме пифагора находим ас. далее находим ар. для этого рассмотрим прямоугольные треугольники амр и кед. углы амр и сад равны-их стороны перпендикулярны. но угол сад равен углу едк. следовательно треугольники амр и кед подобны. окончательный ответ ар/рс=1/7.

1) (См. вложенный рисунок 1)

Угол DCE = 73° => и угол ACB будет равен 73° (равны как вертикальные).

Сумма всех углов - 360° => при том, что углы ACD и BCE также равны как вертикальные, составим уравнение, обозначив эти два угла за X :

x + x + 73 + 73 = 360

2x + 146 = 360

2x = 360 - 146

2x = 214

x = 107 => угол ACD = угол BCE = 107°

ответ : 107°, 107°, 73°, 73°.

2) (См. вложенный рисунок 2)

Т.к. сумма смежных углов равна 180° найдём меньший угол так :

x + x + 20 = 180

2x + 20 = 180

2x = 180 - 20

2x = 160

x = 80

ответ : 80°

3) Дано :

AB = BD

AC - биссектр. угла A

-------------------------------

Док-ть :

/\ BAC = /\ DAC

Т.к., по условию, AC - биссектр. угла A, то угол BAC = углу DAC => треугольники BAC и DAC равны по 1 признаку ( сторона AC - общая, AB = BD, а угол BAC = углу DAC ), ч.т.д.

3 признак равенства треугольников

 

Теорема

(Третий признак равенства треугольников — по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3-priznak-ravenstva-treugolnikovДано:

ΔABC,

ΔA1B1C1,

AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1.

Доказать:

ΔABC= ΔA1B1C1

Доказательство:

Приложим треугольник A1B1C1 к треугольнику ABC так, чтобы

вершина A1 совместилась с вершиной A,

вершина B1 совместилась с вершиной B,

точки C1 и C лежали по разные стороны от прямой AB.

При этом возможны три случая взаимного расположения луча CC1 и угла ACB.

tretij-priznak-ravenstva-treugolnikovI. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.

Проведём отрезок CC1.

По условию AC=A1C1 и BC=B1C1, поэтому треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1.

По свойству равнобедренного треугольника, ∠ACC1=∠AC1C и ∠BCC1=∠BC1C.

Если к равным углам прибывать равные углы, то получим равные углы:

3priznak-ravenstva-treugolnikov

Таким образом, ∠ACB=∠AC1B.

Точки A1 и A, B1 и B совмещены, то есть ∠AC1B и ∠A1C1B1 — один и тот же угол.

Для треугольников ABC и A1B1C1 имеем:

AC=A1C1, BC=B1C1 (по условию), ∠ACB=∠A1C1B1 (по доказанному).

Следовательно, ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).

 

3-j-priznak-ravenstva-treugolnikovII. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.

Так как AC=A1C1 и BC=B1C1, треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1 и ∠ACC1=∠AC1C и ∠BCC1=∠BC1C (как углы при основании).

Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы:

priznak-ravenstva-treugolnikov-3

Таким образом, ∠ACB=∠AC1B и ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).

 

3r-j-priznak-ravenstva-treugolnikovIII. Луч CC1 совпадает со стороной угла ACB.

По условию BC=B1C1, поэтому треугольник BCC1 — равнобедренный с основанием CC1.

Отсюда ∠C1=∠C (как углы при основании) и ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.