Сторона ромба равна 17 см, а одна из диагоналей 30 см . найти длину второй диагонали

1) находим проекции высот боковых граней на основание.

h1 = √((30/2)² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17 см.

h2 = √((12/2)² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см.

получаем: sбок = (1/2)*(2*12*17 + 2*30*10) = 204 + 300 = 504 см².

2) если боковые грани наклонены к плоскости основы под одинаковым углом, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности, а проекции высот боковых граней равны между собой и равны радиусу вписанной окружности.

находим полупериметр основания р = (6 + 10 + 14 = )/2 = 30/2 = 15 см.

площадь основания находим по формуле герона:

so = √(15*9*5*1) = 15√3 см².

радиус вписанной окружности r = s/p = 15√3/15 = √3 см.

высоты наклонных граней равны h = r/cos 60° = √3/(1/2) = 2√3 см.

sбок = (1/2)ph = (1/2)*30*2√3 = 30√3 см².

площадь полной поверхности пирамиды равна:

s = so + sбок = 15√3 + 30√3 = 45√3 см².

3) проведём перпендикуляр ок   к боковой стороне основания.

обозначим ос = х, кс = у, ок = h, bo = √(12² - x²) = √(144 - x²).

из прямоугольного треугольника вос имеем:

h² = y(12 - y),

12y - y² = 16.

получаем квадратное уравнение   y² - 12y + 16 = 0.

квадратное уравнение,  решаем относительно  y:  

ищем дискриминант:

d=(-12)^2-4*1*16=144-4*16=144-64=80;

дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

y_1=(√))/(2*1)=(2√80+12)/2=√80/2+12/2=√80/2+6 ≈ 10.472136;

это вк.

y_2=(-√))/(2*1)=(-√80+12)/2=-√80/2+12/2=-√80/2+6 = 6 - 2√5 ≈ 1.527864, это у.

отсюда находим искомое значение стороны ас:

ас = 2√(h² + y²) = 2√(16 + (6 - 2√5)²) = 4√(18 - 6√5) см.

1. обозначим точки пересечения с прямой l: а1 и в1 соответственно точкам а и в. расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, следовательно, надо найти аа1. когда сделаем чертеж, получим прямоугольную трапецию аа1вв1. обозначим точку на прямой l m1. то есть: аа1, bb1 и mm1 ⊥ l, и aa1, mm1 и вв1 ║l.

2. зная, что ам=мв (по условию) и аа1, мм1 и вв1 ║а (п. 1) получим:   а1м1=м1в1 (по теореме фалеса).

3. найдем аа1 по формуле средней линии трапеции: (аа1+12)/2=16, отсюда аа1 = 20 см.

ответ: 20 см