Измерения правильного параллелепипеда 3см, 5см и 7см. найдите площадь полной поверхности и объём этого параллелепипеда.

площадь полной поверхности

кв.см

обьем прямоугольного параллелипипеда равен

куб.см

ответ: 142 кв.см, 105 куб.см

Пусть задан треугольник со сторонами a, b и с. при этом сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны, то есть a+b> c, b+c> a и a+c> b. и необходимо найти градусную меру всех углов этого треугольника. пусть угол между сторонами a и b обозначен как α, угол между b и c как β, а угол между c и a как γ. теорема косинусов звучит так: квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов двух других длин его сторон минус удвоенное произведение этих длин сторон на косинус угла между ними. то есть составьте три равенства: a²=b²+c²−2×b×c×cos(β); b²=a²+c²−2×a×c×cos(γ); c²=a²+b²−2×a×b×cos(α). из полученных равенств выразите косинусы углов: cos(β)=(b²+c²−a²)÷(2×b×c); cos(γ)=(a²+c²−b²)÷(2×a×c); cos(α)=(a²+b²−c²)÷(2×a×b). теперь, когда известны косинусы углов треугольника, чтобы найти сами углы воспользуйтесь таблицами брадиса или возьмите из этих выражений арккосинусы: β=arccos(cos(β)); γ=arccos(cos(γ)); α=arccos(cos(α например, пусть a=3, b=7, c=6. тогда cos(α)=(3²+7²−6²)÷(2×3×7)=11/21 и α≈58,4°; cos(β)=(7²+6²−3²)÷(2×7×6)=19/21 и β≈25,2°; cos(γ)=(3²+6²−7²)÷(2×3×6)=-1/9 и γ≈96,4°. эту же можно решить другим способом через площадь треугольника. сначала найдите полупериметр треугольника по формуле p=(a+b+c)÷2. затем посчитайте площадь треугольника по формуле герона s=√(p×(p−a)×(p−b)×(p− то есть площадь треугольника равна квадратному корню из произведения полупериметра треугольника и разностей полупериметра и каждой из сторон треугольника. с другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними. получается s=0,5×a×b×sin(α)=0,5×b×c×sin(β)=0,5×a×c×sin(γ). теперь из этой формулы выразите синусы углов и подставьте полученное в 5 шаге значение площади треугольника: sin(α)=2×s÷(a×b); sin(β)=2×s÷(b×c); sin(γ)=2×s÷(a×c). таким образом, зная синусы углов, чтобы найти градусную меру, используйте таблицы брадиса или посчитайте арксинусы этих выражений: β=arccsin(sin(β)); γ=arcsin(sin(γ)); α=arcsin(sin(α например, пусть дан такой же треугольник со сторонами a=3, b=7, c=6. полупериметр равен p=(3+7+6)÷2=8, площадь s=√(8×(8−3)×(8−7)×(8−6))=4√5. тогда sin(α)=2×4√5÷(3×7)=8√5/21 и α≈58,4°; sin(β)=2×4√5÷(7×6)=4√5/21 и β≈25,2°; sin(γ)=2×4√5÷(3×6)=4√5/9 и γ≈96,4°.

Очевидно, что oa=ob=2*a (там 2 прямоуголных треугольника получается, если из o опустить перпендикуляр на плоскость, угол при вершине 30 гр по условию => oa= 2*а) . пусть точка пересечения перпендикуляра из о с плоскостью - k. тогда ак=корень (3)*а (как и bk). аbk - равнобедренный . по условию проекции наклонных на плоскость образуют угол 120 градусов. запуливаем теорему косинусов для abk и получаем, что ab^2=bk^2+ak^2-2*bk*ak*cos120гр. это ответ (вообще сами досчитайте, там все известно) . можно без косинусов. опустим из к высоту на ab. т. к abk - равнобедренный, то высота является и биссектриссой, т. е она поделили угол в 120 гр пополам. пусть t - основание высоты. тогада имеем kta 0 прямоуголный с углом в 30 гр (90-60). ka -гипотенуза. зная ее длину найдем at = 3/2*a. ab=2*at=3*a