Высота остроугольного треугольника авс образует со сторонами, выходящими из той же вершины, углы 24 и 38 градусов. найдите углы треугольника авс

если высота делит угол в на два угла, то градусная мера угла в=24+38=62. рассмотрим прямоугольный треугольник авд. один острый угол равен 24. значит, угол при вершине а = 90-24=66. а угол с = 180 -  62 - 66 = 52

Обозначим катеты а и в, радиус вписанной окружности r. на катетах отрезки от острого  угла до точки касания вписанной окружности тоже равны 3 и 7. тогда катеты равны r+3 и r+7. по пифагору (r+3)² +  (r+7)² = 10². r²+6r+9+r² +14r+49 = 100.2r²+20r-42 = 0, r²+10r-21 = 0. квадратное уравнение, решаем относительно r:   ищем дискриминант: d=10^2-4*1*(-21)=100-4*(-21)=*21)=)=100+84=184; дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: r_1=(√184-10)/(2*1)=√184/2-10/2=√46-5  ≈1,78233; r_2=(-√184-10)/(2*1)=-√184/2-10/2=-√46-5  ≈  -11,78233 этот отрицательный корень отбрасываем. определяем катеты: а =  √46-5+3 =  √46-2,в =  √46-5+7 =  √46+2.площадь s треугольника равна: s = (1/2)ab = (1/2)*(√46-2)*( √46+2) = (1/2)*(46-4) = 42/2 = 21 кв.ед.

Пусть данный треугольник будет авс, вн - искомая высота.   для медианы треугольника есть формула:   м=1/2*(√2а²+2b²-c²), где м - медиана, а,b и с - стороны треугольника.   формула выведена из равенства суммы квадратов диагоналей параллелограмма и квадратов всех сторон: d²+d²=2(a²+b²) для решения можно достроить треугольник до параллелограмма и решать через это равенство.    возведем обе стороны уравнения в квадрат :     м²=1/4*(2а²+2b²-c²)     4м²=(2а²+2b²-c²)     подставив известные значения, получим   2704=3140-с²   с²=436     выразим из ∆ авс квадрат высоты вн:   вн²=ав²-ан²     вн²=вс²-нс²    приравняем оба выражения :   ав²-ан²  =вс²-нс²   нс=ас-ан    436-ан²=841-729+54 ан- ан² ,   откуда   54 ан=324⇒     ан=6     вн²=ав²-ан²    вн²=436-36=400  вн=√400=20 (ед. длины)