Можно ли покрыть всю плоскость квадратами, среди которых всего два одинаковых?

Если ты не пропустил в условиях, что плоскость - конкретной фигуры, то можно.  рядом 2 квадрата со сторонами 1.  сверху примыкающий квадрат со сторонами 1+1=2.  справа примыкающий квадрат со сторонами 1+2=3.  снизу примыкающий квадрат со сторонами 2+3=5.  слева примыкающий квадрат со сторонами 3+5=8.  и т. д. 

Центр о  окружности лежит на перпендикуляре, проведенном к середине отрезка mn. обозначим: - точку касания окружностью стороны ав точкой к, - точки пересечения осью окружности, перпендикулярной стороне ас, со  стороной ас за точку р, со стороной ав за точку е, - отрезок ор за х, - отрезок ре за в. так как окружность проходит через точки м и к, то мо и ко как радиусы равны. из треугольников омр и оке составим уравнение: возведём в квадрат и получаем квадратное уравнение: (1 - cos²a)*x²-2bcos²a*x+(13.5²-b²cos²а) = 0. значение в находим: в = 22,5*tga = 22.5*((1-cos²a)/cosa) = 5,809475. подставив значения в и cosa, получаем: 0,0625х² - 10,892766х + 150,609375 = 0. отсюда х₁ = 15,1421,               х₂ = 159,142 - этот корень отбрасываем, так как точка к выходит за пределы треугольника авс. тогда радиус равен:   r=√(13.5² + x²) =  √(13.5²+15.1421²) = 20,286281.

Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала ав{х2-х1; y2-y1; z2-z1}. в нашем случае вектора: ав{2; 1; 2}, вв1{0; 1; -2}, в1с1{1; 0; 2}. модуль или длина вектора: |a|=√(x²+y²+z²), значит |ab|=√(2²+1²+2²)=3. |bc|=√(1²+0²+2²)=√5. (так как вс=в1с1 - ребра призмы). косинус угла между векторами cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)]. угол между векторами ав и вс равен углу между векторами ав и в1с1 (как угол между скрещивающимися прямыми), тогда : cosα=(2*1+1*0+2*2)/[√(4+1+4)*√(1+0+4)]=6/(3√5)=2√5/5. тогда площадь основания равна (1/2)*ав*вс*sinα. sinα=√(1-cos²α)=√(1-4/5)=√5/5. sabc=|ab|*|bc|*sinα=3√5*√5/5=3ед². высота призмы - это расстояние от точки в1 до плоскости авс. уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, записывается как: |x-x1 x2-x1 x3-x1| |y-y1 y2-y1 y3-y1|=0.  из условия имеем:     |z-z1 z2-y1 z3-z1| |x-1  2  3 | |y-2  1  1 |=0.    |z-3  2  4 | раскрываем определитель по формуле: a1b2c3+a3b1c2+a2b3c1-a3b2c1-a1b3c2-a2b1c3=(x-1)*4+(z-3)*2+(y-2)*6-(z-3)*3-(х-1)*2-(y-2)*8 = 4x-4+2z-6+6y-12-3z+9-2x+2-8y+16 = 2x-2y-z+5=0 второй вариант (для проверки арифметики): раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:             |1 1|                 |2 3|                 |2  3| (х-1)*|2 4| - (y-2)*|2 4| +(z-3)*|1  1| =0. (x-1)(4--2)(8-6)+(z-3)(2-3)=0. 2x-2-2y+4-z+3=0  или 2x-2y-z+5=0. оба варианта дали одинаковый вариант уравнения плоскости: 2x-2y-z+5=0. проверка для точки а: 2-4-3+5=0. для точки в: 6-6-5+5=0. для точки c: 8-6-7+5=0. итак, уравнение плоскости верное. найдем высоту призмы. расстояние d от точки m0(x0,y0,z0) до плоскости ax+by+cz+d=0 вычисляется по такой формуле: d=|ax0+by0+cz0+d|/√(a²+b²+c²).  в нашем случае: d=|6-8-3+5|√(4+4+1)=0 где же ошибка? проверим по данным нам точкам в1 и с1. эти точки, данные нам в условии, так же принадлежат этой плоскости! проверка:   для точки в1: 6-8-3+5=0. для точки c1: 8-8-5+5=0. следовательно, все четыре заданных вершины лежат в одной плоскости. ==================================================== проверим еще раз: найдем уравнение плоскости авс1: |x-x1 x2-x1 x3-x1| |y-y1 y2-y1 y3-y1|=0.  из условия имеем:     |z-z1 z2-y1 z3-z1| |x-1  2  3 | |y-2  1  2 |=0.    |z-3  2  2 | раскрываем определитель по формуле: a1b2c3+a3b1c2+a2b3c1-a3b2c1-a1b3c2-a2b1c3= =(x-1)*2+(z-3)*4+(y-2)*6-(z-3)*3-(х-1)*4-(y-2)*4= =2x-2+4z-12+6y-12-3z+9-4x+4-4y+8 = -2x+2y+z-5=0  или 2x-2y-z-5=0. итак, плоскость авс и авс1 совпадает. ======================================================= и еще раз: уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки в(3,3,5), в1(3,4,3), с1(4,4,5). записывается как: |x-x1 x2-x1 x3-x1| |y-y1 y2-y1 y3-y1|=0.  из условия имеем:     |z-z1 z2-y1 z3-z1| |x-3    0  1 | |y-3    1  1 |=0.    |z-5  -2  0 | раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:             | 1 1|                   | 0 1|                |0  1| (х-3)*|-2 0| - (y-3)*|-2 0| +(z-5)*|1  1| =0. (x-3)2-(y-3)2+(z-)=0. 2x-6-2y+6-z+5=0  или 2x-2y-z+5=0. итак, плоскости вв1с1 и авс - одна и та же! как и плоскость авс1. данная нам фигура - не призма!