Докажите, что сумма квадратов соседних сторон параллелограмма равна полусумме квадратов его диагоналей. не знаю как оформить

по теореме косинусов выразить диагонали и сложить и использовать свойства углов при паралельных прямых  дальше через формулу кос(альфа)=-кос(180-альфа)  при сложении 1 слагаемое уйдёт

сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:   пусть а — длина стороны ab, b — длина стороны bc, d1 и d2 — длины диагоналей; тогда  d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).  доказательства [скрыть]  проведя диагональ bd, мы получим два треугольника: abd и bcd, которые равны, т.к. одна сторона у них общая, а соответственные углы при стороне bd равны как накрест лежащие при параллельных прямых ab | | cd, bc | | ad, где bd - секущая. из равенства треугольников следует: | ab | = | cd | , | ad | = | bc | и ∠a = ∠с противоположные углы ∠b и ∠d также равны, т.к. они представляют собой суммы равных углов.  наконец, углы, прилежащие к одной стороне, например ∠a и ∠d, в сумме 180°, так как это углы внутренние односторонние при параллельных прямых.  по теореме косинусов: d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\angle a. поскольку \cos\angle d = -\cos\angle a, то d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\angle a. складывая полученные равенства: d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).

Дано:

Параллелограмм ABCD.

∠ABE = 60˚

AB = 16 см

ВЕ - высота.

ВС = 20 см.

Найти:

S = ? см².

Решение:

△АВЕ - прямоугольный, так как ВЕ - высота, по условию.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°

=> ∠ВАЕ = 90° - 60° = 30°

Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

=> ВЕ = 16/2 = 8 см.

У параллелограмма противоположные стороны равны.

=> ВС = AD = 20 см.

S = AD * BE (сторона и высота, которая опущена к этой стороне)

=> S = 20 * 8 = 160 см²

ответ: 160 см²

Дано:

трапеция;

∠DAC = 63˚;

∠ACJ = 27˚;

D₂K = 10;

IJ = 12.

D₂К соединяет середины отрезков DE и AC.

IJ соединяет середины отрезков AD и EC.

Найти:

(AC * DE) * 1/2 = ?

Решение:

Пусть дана произвольная трапеция ADEC, где AC - большее основание (сумма углов при большем из оснований 63° + 27° = 90°), а DE - меньшее соответственно.

Продлим боковые стороны нашей произвольной трапеции до их пересечения. Обозначим пересечение точкой В.

Нетрудно заметить, что △ABC - прямоугольный (поскольку можно увидеть, что ∠DAC + ∠ACJ = 63˚ + 27° = 90° - сумма острых углов в прямоугольном треугольнике => ∠АВС прямой и равен 90°).

Обозначим середину большего из оснований произвольной трапеции, допустим, точкой К. Тогда из свойства, мы можем утверждать, что ВК - медиана прямоугольного △ABC.

Мы знаем, что медиана всегда делит отрезок, параллельный тому, к которому проведена медиана, на два равных, т.е. в данной ситуации она оба основания нашей трапеции делит пополам так, что AK = KC и DD₂ = D₂E.

Исходя из этих объяснений, запишем формулу для серединного отрезка к противоположным сторонам трапеции IJ.

IJ = 1/2 * (AC + DE).

D₂K = ВК - ВD₂. Известно, что ВК и ВD₂ медианы, проведённые из вершины прямого угла, которые по свойству медианы прямоугольного треугольника равны половине гипотенузы. То есть BK = AC * 1/2 (по свойству), соответственно BD₂ = DE * 1/2, откуда D₂K = 1/2 * (AC - DE).

Исходя из этого, мы можем сказать, что:

AC = D₂K + IJ = 10 + 12 = 22; DE = IJ - D₂K = 12 - 10 = 2.

Теперь остается найти полупроизведение этих оснований.

(AC * DE) * 1/2 = (22 * 2) * 1/2 = 44 * 1/2 = 44/2 = 22.

ответ: (AC * DE) * 1/2 = 22.