Одна из диагоналей параллелограмма, длина которого 4 корень из 6, составляет с основанием угол 60, а вторая диагональ составляет с тем же основанием угол 45, то длина второй диагонали равна.

Примем высоту трапеции "h", верхнее основание "а", нижнее "в". боковые стороны равны 2h,как лежащие против угла в 30 градусов. сторона в = а + 2(2h*cos30°) = a + 2(2h*(√3/2) = a + 2h√3. площадь s = ((a +    a + 2h√3)/2)*h = (a + h√3)*h = ah + h²√3. по ah + h²√3 = 200. отсюда сторона а = (200 - h²√3)/h. периметр р = 2*(2h) + a + a + 2h√3. подставим вместо а её значение относительно h. p = 4h + 2h√3 + 2((200 - h²√3)/h) = (4h² + 400)/h. производная функции равна: dp/dh = (4h² - 400)/h². приравниваем нулю (достаточно числитель): 4h² - 400 = 0, h =  √(400/4) =  √100 = 10. это значение высоты трапеции при минимальном периметре. сам периметр равен: р = (4*10² + 400)/10 = 800/10 = 80.

поскольку окружность касается осей координат и проходит через точку, расположенную в первой координатной четверти, то центр окружности лежит на прямой  y  =  x. значит, абсцисса и ордината центра окружности равны её радиусу. следовательно, уравнение окружности имеет вид (x  -  r)2  + (y  -  r)2  =  r2. поскольку точка  a(2; 1) лежит на окружности, координаты этой точки удовлетворяют полученному уравнению, т.е.  (2 -  r)2  + (1 -  r)2  =  r2. отсюда находим, что  r  = 1 или  r  = 5. следовательно, искомое уравнение имеет вид:

(x  - 5)2  + (y  - 5)2  = 25  или  (x  - 1)2  + (y  - 1)2  = 1.  решение: (x  - 5)2  + (y  - 5)2  = 25 или  (x  - 1)2  + (y  - 1)2   = 1.