Доказать, что авсд ромб , если а(2; 1; 2) в(0; 1; 6) с(-2; 5; 6) д(0; 5; 2)

ав(-2; 0; 4) |ab|=√{4+0+16}=√{20}

bc(-2; 4; 0) |bc|=√{4+16+0}=√{20}

cd(2; 0; -4) |cd|=√{4+0+16}=√{20}

ad(-2; 4; 0) |ad|= √{4+16+0}=√{20}

o середина ac о (0; 3; 4)

o середина bd о (0; 3; 4)

стороны равны, диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся поополам

авсд - ромб

 

Ав:   a (1; -1) b (-3; 2). сd:   c (2; 5) d(5; 2). это уравнения прямых в каноническом виде.уравнения прямых ав  и сd в общем виде: ав: 3х-3 = -4у-4,ав: 3х+4у+1 = 0.сd: -3x+6 = 3y-15,cd: -3x-3y+21 = 0 или, сократив на -3, cd: x+y-7 = 0уравнения этих же прямых в виде уравнения с коэффициентом: ab: y = -(3/4)x-(1/4),   к = -(3/4).cd: y = -x+7,             к = -1.прямые  ab и cd пересекаются, так как их угловые  коэффициенты при х не .

Вот некое утверждение, если кто-то докажет, что оно ошибочно, я ему лично пожму руку : пусть высота ch пересекает описанную окружность в точке k, биссектриса cl в точке q, медиана cm в точке p. дуги ak = kq = qp = pb; точки p и k симметричны относительно qm. легко доказать (я тут этого делать не что прямая pm проходит через ортоцентр abc. (то есть точку пересечения высот). а теперь - внимание! : для того, чтобы эта прямая прошла через вершину c, нужно, чтобы вершина c была бы ортоцентром треугольника abc. : то есть этот треугольник - прямоугольный. (странное доказательство, и я жду возражений : ) получается, что, если медиана и высота образуют с биссектрисой равные углы, то треугольник обязательно прямоугольный. это - сильное утверждение, мне не верится, что это на самом деле так). чтобы, если это доказательство будет опровергнуто, решение не удалили, я и другое, тупое доказательство. если обозначить угол между высотой и биссектрисой x, то легко найтиah = hl = h*tg(x); bh = h*tg(3x); mh = h*tg(2x); h = ch; из того, что cm - медиана, следуетtg(3x) - tg(2x) = tg(x) + tg(2x); sin(x)/(cos(3x)*cos(2x)) = sin(3x)/(cos(x)*cos(2x)); sin(2x) = sin(6x); cos(4x)*cos(2x) = 0; единственное приемлемое решение 4x = π/2; то есть ∠acb = π/2; треугольник прямоугольный.его меньший острый угол равен x = π/8; дальше все в этой просто, cm = r; сl = ac = 2r*sin(π/8); ch = ac*cos(π/8) = r*sin(π/4) = r√2/2; вычислить значение z = sin( π/8) можно так1 - 2*(sin( π/8))^2 = √2/2;   sin(π/8) = √(2-√2)/2;