На сторонах ав и вс треугольника авс взяты точки d и e соответственно.из этих точек опущены перпендикуляры dk и ep к прямой ас, dk=ep, угол adk= углу pec. докажите, что ab=bc

треугольник авс 

полученные треугольники адк и рес равны по катету и прилегающему осторому углу, ес=ад,   прямая де параллельна ас потому что перпендикуляры опущены с одной прямой на другую равны между собой.

далее по теореме фалеса. параллельные прямые , которые пересекают стороны угла отсекают от сторон пропорцианальные отрезки. 

ве / ес = вд / ад , ве/ес=вд/ес, ве х ес = вд х ес , ве=ес

отрезки равны между собой - стороны равны

 

 

 

 

 

 

 

 

стереотипное решение

опускаем высоту из в на ас, пусть основание м. поскольку ав=вс, м - середина ас.

в треугольнике авм угол м прямой, а cosa = am/ab = 3/5; ав = 5, поэтому ам = 3;

ас = 2*ам = 6.

 

как надо решать, если хочется научиться :

высота к основанию делит треугольник на 2 прямоугольных тр-ка, симетричных относительно высоты.

а - угол при основании, раз cosa = 3/5, значит эти треугольники "египетские" (то есть подобные тр-ку со сторонами 3,4,5). поэтому половина основания 3, а все - 6.

прямоугольная трапеция авсд: ав перпендикулярна вс и ав перпендикулярна ад.

чтобы в трапецию можно было вписать окружность, нужно, чтобы суммы противоположных сторон были бы равны : ав + сд = вс + ад.

вс = 10 - малое основание

ав = а - одна из боковых сторон, а также высота трапеции

опустим перпендикуляр ср на основание ад. тогда получим

ар = 10, ср = ав = а.

поскольку угол д (острый угол трапеции) равен 45°, то

рд = ср = а, а сд = ср/sin 45° = a√2/

таким образом, сумма ав + сд = вс + ад может быть записана через а:

а + а√2 = 10 + (10 + а)

а√2 = 20

а = 20/√2 = 10√2

и

ав = 10√2

вс = 10

сд = 20

ад = 10 +10√2

 

площадь трапеции:

s = 0,5·(вс + ад)·ав =

    = 0,5·(10 + 10 +10√2)·10√2 =

  = (20 +10√2)·5√2=

  = 100√2 + 100 =

  = 100·(√2 + 1)

ответ: s = 100·(√2 + 1)