98 . 1)в равнобедренном треугольнике основание в 3 раза меньше боковой стороны, а периметр равен 58, 1 см. найти основание треугольника. 2)в равнобедренном треугольнике abc be-высота, ab=bc. найдите be, если ас=√6, 4 и ав=1, 3 3)в прямоугольном треугольнике abc с прямым углом c известны катеты: ac=25, 2 и bc=10, 5. найдите медиану ck этого треугольника. * фотография треугольника из , под номером 3

1) основание обозначим как х

тогда боковая сторона равна 3х

периметр равен

3x+3x+x=58,1

7x=58,1

x=58,1/7

x=8,3

2)высоту найдём по формуле пифагора

фото выше

3)в прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы

найдём гипотенузу по формуле пифагора

ответ 273/10=27,3

Способ: s(amb)=1/2ma·mb·sin(amb)=(√3/4)ma·mb, т.к.  ∠amb=∠acb=60°. отсюда    ma·mb=4s(amb)/√3 и аналогично из площадей  треугольников amc и смв получим  ma·mc=4s(amc)/√3,  mc·mb=4s(сmв)/√3. по теореме косинусов для тех же треугольников: ab²=ma²+mb²-ma·mb=ma²+mb²-(4/√3)·s(amb); aс²=ma²+mс²+ma·mс=ma²+mс²-(4/√3)·s(amс); сb²=mс²+mb²-mс·mb=mс²+mb²-(4/√3)·s(сmb). сложим эти равенства: ab²+aс²+сb²=2(ma²+mb²+mс²/√3)·(s(amb)-s(amс)+s( но  ab=aс=сb=√3, и значит ab²+aс²+сb²=3+3+3=9, s(amb)+s(сmb)-s(amс)=s(abc)=(3√3)/4. поэтому 9=2(ma²+mb²+mс²/√3)·(3√3)/4, т.е.  ma²+mb²+mс²=(9+3)/2=6. тригонометрический способ: если r - радиус,  о - центр окружности и ∠aom=2x, то    mа=2rsin(x), mb=2rsin(60°+x), mc=2rsin(60°-x). значит  ma²+mb²+mс²=4r²(sin²(x)+sin²(60°+x)+sin²(60°- после раскрытия синусов суммы и получим 6r², что и требовалось.

угол между плоскостями граней sbc и авс - двугранный угол с ребром вс, которое является линией пересечения данных плоскостей. 

чтобы построить этот угол, из а проведем перпендикуляр ан   к вс, из s- наклонную sh в ту же точку.

ан - проекция sh и перпендикулярна вс.   по т.трех  перпендикулярах sh  ⊥вс

перпендикуляр ан - высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника авс.  ⇒   угол сан=50º: 2=25º

в треугольниках асн и ash катет ан общий, а острые  углы при н равны. 

если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.⇒

sh=5 см –   это расстояние от вершины пирамиды до вс. 

площадь полной поверхности пирамиды  равна сумме площадей боковых граней    и площади треугольника sbc. 

т.к. по условию ва=са, то и наклонные, чьими проекциями они являются, тоже равны.  ⇒

sb=sc, ∆ bsc- равнобедренный с высотой sh.

s авс=ав•вс•sin  ∠bac: 2

синус 50º по таблице равен 0,7660 

s abc=25•0,7660: 2=9,576666 =  ≈ 9,577 см²²

для нахождения площади боковой поверхности нужно найти sa   и sh

sa=sh•sin 25

sin25º=0,4226

  sa=5•0,4226=2,113

s ∆ sac=ac•sa: 2=  ≈5,28см²

s ∆ sac+s ∆ sab=  ≈10,565 см²

s ∆ sbc=bc•sh: 2

вс найдем по т. косинусов

вс²=25+25-50•cos50º

cos50º=≈0,64278 

вс=√17,860=4,226

s ∆ sbc=5•4,226•0,64378: 2=10,565 см²

площадь полной поверхности пирамиды sавс=  ≈  21,113  см²²