Дано: m (-6; 0; 1); n(1; -4; 5); k(1; -3; 2) найти периметр треугольника mnk

Пусть bc=a, ac=b, ab=c, p=a+b+c и r - радиус вписанной окружности. тогда т.к. cos(abc)=1/2, то по т. косинусов b²=a²+c²-aс. кроме того, a²+c²=(a+c)²-2ac=(p-b)²-2ac, значит подставляя это в т. косинусов, получим  b²=(p-b)²-2ac-aс, откуда ac=((p-b)²-b²)/3=(p-2b)p/3. значит площадь s треугольника abc равна s=(1/2)*ac*sin(60°)=(p-2b)p/(4√3)=p*r/2, откуда r=(p-2b)/(2√3)=(15-2·6)/(2√(3π))=√3/(2√π). значит площадь вписанного круга равна π·r²=π·3/(4π)=3/4. 2 способ (более короткий). если обозначить через x,y,z отрезки на которые точки касания вписанной окружности разбивают стороны треугольника, то получим x+y+z=p/2 и x+y=b, откуда z=p/2-b. т.к центр впис. окружности лежит на биссектрисе угла в 60 градусов, то r=z·ctg(30°)=(p-2b)/(2√3).

меньшая окружность проходит через 3 вершины, одна из который - острый угол, а две - вершины тупых углов. острый угол является вписанным в эту окружность. и, наоборот, большая окружность проходит через вершину острого угола, потом- тупого, и - опять острого. в большую окружность вписан тупой угол.  

r = 3; r = 4;   a = ?

обозначим за ф половину тупого угла ромба. в треугольнике, вписанном в малую окружность, это будет острый угол, противолежащий стороне а;

тогда по теореме синусов

a = 2*r*sin(ф); sin(ф) = a/(2*r);

для тупоугольного равнобедренного треугольника, вписанного в большую окружность, угол при основании (противолежащий стороне а) равен (180 - 2*ф)/2 = 90 - ф;

поэтому по той же теореме синусов

a = 2*r*sin(90 - ф) = 2*r*cos(ф); cos(ф) = a/(2*r);

осталось возвести это в квадрат и сложить

1 =  a^2/(2*r)^2 + a^2/(2*r)^2; (2/a)^2 = 1/r^2 + 1/r^2;

подставляем r = 3; r = 4; получаем а = 24/5