№1. вычислить площадь квадрата, описанного около круга, площадь которого равна 36п №2. точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник делит гипотенузу в отношении 2: 3. найдите площадь треугольника, если расстояние от центра окружности до вершины прямого угла равно 2 корня из 2. №3. чему равна площадь сектора радиуса корень из 13, радианная мера дуги которого равна 2?

1. площадь круга = пr^2, тогда r=6. сторона квадрата равна 2r. отсюда следует, что сторона квадрата равна 12. а площадь 12*12=144. ответ 144

1)надо продлить прямую ab за точку a до пересечения с прямой n в точке с, 2) обозначить центр окружности o. 3) провести из точки a перпендикуляр на n (то есть построить проекцию точки a на прямую n). пусть это - точка n. 4) проекция точки b на n - точка m 5) проекция точки o (центра окружности) точка k; 6) через точку a надо провести прямую ii n, пусть она пересекает  bm в точке f и ok в точке e; 7) и последнее - через точку o тоже проводится прямая ii n до пересечения с bm в точке d; итак, есть касательная ck и секущая cb к окружности с центром в точке o. очевидно, что afmn - прямоугольник, поэтому bf = bm - an = 5 - 1 = 4;   в прямоугольном треугольнике afb известны гипотенуза ab = 2√5 и катет bf = 4; откуда af = 2; разумеется nm = af = 2; и кроме того, an = fm = ek = 1; поскольку aekn - тоже прямоугольник. из подобия треугольников afn и acn легко найти cn = 1/2; ясно, что cm = сn + nm = 1/2 + 2 = 5/2; чтобы дальше не тащить длинные буквенные обозначения, я обозначу радиус окружности r; и пусть ck =  a; тогда ob = oa = ok = r; ae  = ck - cn = a - 1/2; od = ck - cm = a - 5/2; из треугольника bod od^2 + bd^2 = ob^2;   bd = bm - r; (a - 5/2)^2 + (5 - r)^2 = r^2; или a^2 - 5a + 25/4 + 25 - 10r = 0; из треугольника aoe ae^2 + oe^2 = ao^2; oe = r - ek = r - 1; (a - 1/2)^2 + (r - 1)^2 = r^2; a^2 - a + 1/4 + 1 - 2r = 0; если исключить r из двух полученных уравнений, получится a^2 = 25/4; или a = 5/2 или (-5/2); второе решение не надо "отбрасывать", это - не вермишель : ).  после этого легко найти и r, 2r = 1 + (a - 1/2)^2; в первом случае r = 5/2; во втором r = 5; второе решение отличается от первого тем, что точка k лежит с другой стороны от точки c, чем точки m и n. поэтому a получилось отрицательное. при этом дуга окружности ab лежит ниже прямой ab.

Пусть abcd  прямоугольник   ad =bc =2 ; ab  =cd =6   и пусть ad∈  α(меньшая сторона прямоугольника лежит в плоскости  α).  из вершины c  опустим    перпендикуляр к плоскости    ch  ┴  α  .  ac наклонная  ,а  ah ее проекция.  угол между прямой    ac и  плоскости  α будет    < cah   ( =60°).            < cdh =β   будет линейным  углом  между плоскостью прямоугольника и   плоскостью  α ; действительно      ad линия пересечения плоскостей   (abcd) и  α  .    ad    ┴  cd  ⇒  ad  ┴  hd  (сd наклонная  ,  а  hd ее проекция). δach : ch =ac*sin60°   (1);     δdch:   ch =cd*sinβ     (2) . ac*sin60° =cd*sinβ ;   sinβ=ac/cd*sin60°     ;       ac    =√(ad² +cd²)  =√(2² +6²) =√40 =2√10.   sinβ  =  2√10/6 *√3/2 =(√30)/6 .⇒   β =arcsin(√30)/6  . **********************************************************************************