Длина катета ac прямоугольного треугольника abc равна 8. окружность с диаметром ac пересекает гипотенузу ab в точке m. найдите площадь треугольника abc, если известно, что am: mb = 16: 9

треугольник авс, угол с=90, ас =8 =диаметру, проводим линию см, угол амс = 90, потому что опирается на диаметр = 1/2 дуги ас=180/2=90

треугольники авс и асм подобны по одному острому углу а

ам = 16х, вм=9х, ав=16х+9х=25х

ав/ас=ас/ам, 25х/8=8/16х

20х=8, х=8/20

16х=32/5

9х=18/5

ас = 32/5 + 18/5=10

св = корень (ав в квадрате - ас в квадрате) = корень(100-64)=6

площадь = 1/2ас х св = 1/2 х 8 х 6 = 24

примем коэффициент пропор-ти за х ам = 16х мв = 9х гипотенуза ав =16х+9х =25х св²=9х*25х = 225х² (св=15х) из теоремы пифагора (25х)² = 8²+225х² 625х² =64 +225х² 400х²= 64 х = 8/20 = 2/5 св = 15х =15 * 2/5 =6 s = ab/2 s= 8 * 6 / 2 = 24см²

Пусть   трапеция  abcd:   bc | |    ad ; ab =cd ; bc =15  см    ;   ad =33 см ; ∠dac=∠baс. s(abcd) ∠dac =∠acb  (  как накрест лежащие углы ) ⇒∠baс=∠acb .те. треугольник abс равнобедренный (ab=bс =15  см ) . по известным  сторонам можно определить площадь трапеции  . проведем  be ⊥  ad . ae = (ad - bc)/2 =(  33 -15)/2 =9 (см )  . из прямоугольного  δabe получаем  be =16    см    * * *    (3* 3 ; 3* 4 ; 3* 5      * * *    s(abcd) = ((ad+bc)/2 )*be =((33+15)/2) *16 =384 (см² ). *  *  *  *  *  *  *   второй способ     *  *  *  *  *  *  *  можно проведем be || cd ; e  ∈ [ad] .треугольник abe известен по трем сторонам:     be =cd ; cd; ed=ad  - bc. s(abcd)/s(abe) =(ad+bc)/(ad-bc). s(abcd)s(abe) = s(abe) *(ad+bc)/(ad-bc) .

докажем сначала, что это параллелограмм. диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

пусть точка о1(х; у) середина ас тогда

х=(-6+6)/2=0;   у=(1-4)/2=-1,5.

пусть точка о2(х; у) середина bd тогда

х=(0+0)/2=0;   у=(5-8)/2=-1,5.

значит о1 совпадает с о2 -   значит abcd  параллелограмм.

о(0; -1,5) - точки пересечения его диагоналей.

докажем что это прямоугольник. если диагонали параллелограмма равны то он прямоугольник.

ас^2=(6+6)^2+(-4-1)^2

ас^2=12^2+(-5)^2

ас^2=144+25

ac^2=169

ac=13

bd^2=(0+0)^2+(-8-5)^2

bd^2=0^2+(-13)^2

bd^2=0+169

bd^2=169

bd=13

ac=bd

abcd - прямоугольник