Сформулруйте и докажите теорему о свойстве касательной.

т1-касательная к окр. перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания, т2- отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные треугольники с прямой, проходящие через эту точку и центр окружности.    т3-если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

теорема: касательная к окружности перпендикулярна к радиусу,проведённому в точку касания.

доказательство: пусть р- касательная к окружности с центром o,a -точка касания. докажем что р перендикулярна к радиусу ao

предположим, что это не так. тода радиус oa является нактонной к прямой р. так как перпендикуляр,проведенный из точки   o к прямой р ,меньше наклонной oa, то расстояние от центра   o  окружности до прямой р   меньше радиуса. следовательно, прямая р и окрудность   имеют две общие точки. но это протеворечит условию: прямая р- касательная

таким образом, прямая р перепендикулярна   к hадиусу oa

Теорема.  центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.    доказательство.  пусть abc данный, o – центр вписанной в него окружности, d, e и f – точки касания окружности со сторонами. δ aeo = δ aod по гипотенузе и катету (eo = od – как радиус, ao – общая). из равенства треугольников следует, что ∠ oad = ∠ oae. значит ao биссектриса угла ead. точно также доказывается, что точка o лежит на двух других биссектрисах треугольника. теорема доказана.

Пирамида правильная, т. е. проекция вершины на основание совпадает с пересечением его диагоналей. в квадрате длина диагонали «сторона квадрата» множить на корень из 2-х (можно сослаться на теорему пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, поскольку треугольник имеет прямой угол). диагональ квадрата – она же и основание треугольника в указанном сечении пирамиды. угол (при учёте, что треугольник прямоугольный) вычисляется как арктангенс отношения противолежащего катета к прилежащему. противолежащий – это высота из условия, а прилежащий – половина диагонали квадрата в основании. если подставить все известные данные, то получается дробь: делимое - 5 корней из 6-ти, а делитель - 10 корней из 2-х делённое на 2. после «перекочёвки» 2-ки к 5-ке и сокращения остаётся корень из 6 делить на корень из 2-х или просто корень из 3-х. арктангенс корня из 3-х ровно 60 градусов. площадь сечения просто получается перемножением катетов того же треугольника (половинки сечения). 5 корней из 6 множить на 10 корней из 2-х делённых на 2. всё легко сокращается до вида 50 корней из 3-х.