При каком значении β векторы а и b ортогональны; 1)a=(β; -7; 5), b=(2; 3; β); 2)a=2i - j +βk, b= βi - 3j - 8k ? . 2- даны векторы a=(2.1.-4) и b=(4.0.-3найдите значение m, при котором a+mb b.

1) a,b ортогональны, если скалярное произведение 0.

а) 2β - 21 + 5β = 0

β = 3

б) 2β + 3 - 8β = 0

β = 0,5

 

2)  координаты вектора a+mb равны (2+4m, 1, -4-3m)

скалярное произведение равно нулю: (2+4m)*4 + 1*0 + (-4-3m)*(-3) = 0

8 + 16m + 12 + 9m = 0

25m = -20

m = -4/5 = -0.8

Пусть k  вершина пирамиды, основание     abcd_ромб  ;   ∠bad=30°; ko  ⊥(abcd) ,  ko =h    (высота  пирамиды) ; oe  ⊥  ad ;   ∠keo =60°. e ∈  ad sпол -? sпол =  sосн  +  sбок  . все грани с   плоскостью основания составляют равны углы  (в данном случае 60°),значит высота    пирамиды проходит через центр  o  окружности   вписанной  в   основании  abcd. через точку  o  проведем прямую ,перпендикулярную  ad (bc)  ,которая пересекает сторону    ad допустим  в точке e ,а сторону  bc в точке f.  ke    и kf  будут апофемы соответственно    боковых граней   akd  и bkc.из  oe  ⊥  ad⇒oe  ⊥  ke(теорема трех перпендикуляров). треугольник  ekf_равносторонний: (∠keo=∠kfo=60°) . поэтому   ke=kf= ef    ||  =2*oe =2*r||. из  δkoe:   ko =ke*√3/2  ⇒ke=2ko/√3 =2h/√3. ke=kf=ef =2h/√3. найдем сторону основания.из вершины  b опускаем перпендикуляр  bn  на  ad.  ef =bn =ab/2 (катет против угла 30°)⇒  ab=2*ef.            sосн   =ab*bn =2*ef*ef =2ef²  . sбок=4*(1/2)ad*ke=2ad*ke =2ab*ke =2*2*ef*ke  =4ef². sпол =  sосн  +  sбок =2ef²+4ef² =6ef²=6*(2h/√3)² =(6*4/3)h²=8h². ответ:   8h² .

Пусть k  вершина пирамиды, основание     abcd_ромб  ;   ∠bad=30°; ko  ⊥(abcd) ,  ko =h    (высота  пирамиды) ; oe  ⊥  ad ;   ∠keo =60°. e ∈  ad sпол -? sпол =  sосн  +  sбок  . все грани с   плоскостью основания составляют равны углы  (в данном случае 60°),значит высота    пирамиды проходит через центр  o окружности   вписанной  в   основании  abcd. через точку  o  проведем прямую ,перпендикулярную  ad (bc)  ,которая пересекает сторону    ad допустим  в точке e ,а сторону  bc в точке f.  ke    и kf  будут апофемы соответственно    боковых граней   akd  и bkc.из  oe  ⊥  ad⇒oe  ⊥  ke(теорема трех перпендикуляров). треугольник  ekf_равносторонний: (∠keo=∠kfo=60°) . поэтому   ke=kf= ef   ||  =2*oe =2*r||. из  δkoe:   ko =ke*√3/2  ⇒ke=2ko/√3 =2h/√3. ke=kf=ef =2h/√3. найдем сторону основания.из вершины  b опускаем перпендикуляр bn  на  ad.  ef =bn =ab/2 (катет против угла 30°)⇒  ab=2*ef.            sосн   =ab*bn =2*ef*ef =2ef²  . sбок=4*(1/2)ad*ke=2ad*ke =2ab*ke =2*2*ef*ke  =4ef². sпол =  sосн  +  sбок =2ef²+4ef² =6ef²=6*(2h/√3)² =(6*4/3)h²=8h². ответ:   8h² .