(( построить треугольник по двум неравным сторонам и радиусу описанной окружности. сколько решений имеет ?

теорема пифагора: если треугольник прямоугольный, то квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон.обратная теорема пифагора: если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов других сторон, то такой треугольник прямоугольный.

Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. если серединный перпендикуляр к основанию проходит через вершину, то он по определению является высотой и медианой треугольника. если в треугольнике высота совпадает с медианой, то треугольник является равнобедренным. центр вписанной окружности также лежит на серединном перпендикуляре к основанию треугольника, если тот проходит через вершину, так как центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, а в равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые из вершины, противолежащей основанию, .

пусть отрезок, соединяющий  середины ребер ab и bc, это ек, его середина - точка о. в сечении - пятиугольник крд1ме, симметричный отрезку д1о. точки р и м - это точки пересечения секущей плоскостью рёбер сс1 и аа1. диагональ вд основания равна 16√2. отрезок ек пересекает её на расстоянии 1/4 длины от точки в, то есть од = 16√2 - (16√2/4) = 12√2. длина од1 =  √((12√2)²+14²) =  √(288+196) =  √484 = 22. точки пересечения секущей плоскости с рёбрами аа1 и сс1 находим так: - отрезок ек продлить до пересечения с  продолжением рёбер ад и     дс  (это точки а2 и с2), - в эти точки провести прямые из вершины д1, - точки пересечения последних прямых с рёбрами  аа1 и сс1  и есть точки    м и р.расстояние х по вертикали от основания до точек м и р определим из пропорции:

х/8 = 14/(8+16),

х/8 = 14/24,

х = (8*14)/24 = 14/3.

расстояние по вертикали от  точки д1 до точек м и р равно 14 - (14/3) = 28/3.

переведём эти высоты в наклонную длину в плоскости сечения.

расстояние между точками р и м равно диагонали основания 16√2.

отрезок рм пересекает од1 в точке о1.

cинус угла наклона секущей плоскости к основанию равен:

cosα = дд1/од1 = 14/22 = 7/11.

отсюда оо1 = (14/3)/(7/11) = 22/3, о1д1 = 22-(22/3) = 44/3.

теперь можно приступить к определению площади сечения.

площадь сечения s равна площади прямоугольника s1 высотой 22 и шириной 16√2 минус площадь двух пар треугольников s2 и s3.

s1 = 22*16√2 = 352√2  ≈  497,8032 кв.ед.

s2 = 2*((1/2)*8√2*(44/3)) = 352√2/3  ≈  165,9344  кв.ед.

s3 = 2*((1/2)*4√2*(22/3)) = 88√2/3  ≈  41,4836    кв.ед.

ответ: s = (352√√2/3-(88√2/3) =  616√2/3  ≈  290,3852  кв.ед.