Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 1: 4. найти периметр прямоугольника, если его площадь - 36 см^2.

диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника

в любом из них  биссектриса угла прямоугольника/треугольника   делит его

гипотенузу/диагональ в отношении 1: 4.

по теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника стороны образующие угол

имеют такое же отношение

другими словами, стороны прямоугольника имеют отношение 1: 4   = x : 4x

тогда уравнение

x * 4x =  36 см^2.

4x^2=36

x^2=9   ( -3   не подходит)

x=3   - одна сторона

4*3=12 - другая сторона

периметр   p = 2*(3+12) =30 см

 

ответ 30 см

заметим, что

chb = 180o- bac = 180o-60o = 120o.

пусть cc1 и bb1 — высоты треугольника abc . из прямоугольных треугольников cc1b и bb1c находим, что

bch = 90o- abc = 90o-50o = 40o, cbh = cbb1=90o-70o=20o.

точка o — центр описанной окружности треугольника abc , поэтому

cob = 2 bac = 2· 60o = 120o, ocb= obc = 30o,

значит,

och = bch - bco = 40o- 30o = 10o.

из точек h и o , лежащих по одну сторону от прямой bc , отрезок bc виден под одним и тем же углом ( 120o ), значит, точки b , o , h и c лежат на одной окружности. следовательно,

coh = cbh = 90o- 70o= 20o,

cho = 180o - och - coh = 180o-10o-20o=150o.

для того, чтобы четырехугольник мог быть вписан в окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы его противоположных сторон были равны. обозначим 1 часть за x, тогда:

1). стороны четырехугольника равны 7x, 3x, 2x, 6x в порядке следования, а суммы противоположных сторон равны:

7x+2x=3x+6x => 9x=9x, верно, значит такой четырехугольник может быть вписан в окружность.

2). стороны четырехугольника равны 5x, 4x, 3x, 6x в порядке следования, а суммы противоположных сторон равны:

5x+3x=4x+6x => 8x≠10x, неверно, значит такой четырехугольник не может быть вписан в окружность.

ответ: 1). да, может; 2). нет, не может.