Периметр паралелограма abcd дорівнює 36 см, ав=4/5вс. знайти сторони паралелограмиа.

противоположные стороны равны значит 4: 5: 4: 5   . всего 18 частей 

36: 18 =2   см 1 часть

2*4=8 см одна сторона

2*5=10 вторая

Пусть m - середина ас. тогда вm - медиана и высота правильного треугольника авс. sm - медиана и высота равнобедренного треугольника sac. вm⊥ас, sm⊥ac, ⇒ ∠smb = 60° - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию. центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит в точке пересечения высоты пирамиды и биссектрисы угла, образованного апофемой и ее проекцией на основание (в нашем случае  - ∠smh) sh - высота пирамиды, мо - биссектриса ∠smh. о - центр вписанного в пирамиду шара. он = r - расстояние от центра шара до плоскости основания. проведем ок⊥sm. ас⊥smb (вm⊥ас, sm⊥ac), значит ок⊥ас, ⇒ ок⊥sac, т.е. ок = r - расстояние от центра шара до грани sac. к - точка касания. δомн: нм = оh / tg∠omh = r / tg30° = r√3 нм - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: нм = а√3/6 а√3/6 = r√3 a = 6r δshm: hm / sm = cos 60°               sm = hm / cos60° = r√3 / (1/2)  = 2r√3 sбок = 1/2 pabc · sm = 1/2 · 3(6r) · 2r√3 = 18r²√3 проведем кр⊥sh, р - центр окружности, по которой поверхность шара касается боковой поверхности пирамиды. рк - ее радиус. ∠skp = ∠smh = 60° (соответственные при пересечении кр║мн секущей sm), ∠рко = ∠sko - ∠skp = 90° - 60° = 30° δpko: cos ∠pko = pk / ko               cos 30° = r / r               r = r√3/2 длина окружности касания: c = 2πr = 2π · r√3/2 = πr√3

Высота поделила треугольник на два прямоугольных треугольника: авд и двс. рассмотрим треугольник авд. ад и дв являются в нем катетами. тогда нужно найти гипотенузу ав. ищем по теореме пифагора: 12 в квадрате + 5 в квадрате (все это под корнем). считаем: 144+25=169. корень из этого числа 13. ав= 13. рассмотрим треугольник двс. тут также нужно найти гипотенузу. дс в квадрате + дв в квадрате, то есть : 5 в квадрате + 8 в квадрате( все это под корнем) = 25+64= 89 корень не исчисляется. вс= корень из 89