1)докажите что если около четырехугольника описать окружность, то сумма его противоположных углов равна 108 градусов. 2)углы a, b и d вписанного четырехугольника abcd относятся как 1: 2: 3. найдите угол с этого четырехугольника. 3)в трапеции авсd меньшая диагональ вdперепендикулярна основаниям ad и bc, сумма острых углов a и c равна 90 градусов.найдите площадь трапеции, если основания ad=2, bc=18

1. сумма противоположных углов четырехугольника равна не 108, а 180.

вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.  а противоположные углы четырехугольника опираются на дуги, сумма градусных мер которых равна 360 градусов. а половина этого равна 180!

  2. мы доказали толко что, что сумма противоположных углов прямоугольника, вписанного в окружность, равна 180 градусов. д+в=180, но д=3х, а в=2х, значит, х=36 градусов. угол а равен х = 36, отсюда, угол с=180-36 = 144 градуса.

  3. а+с=90. , нро треугольники авд и всд - прямоугольные и углы у них вдс = а, а угол авс = с. составляем пропорцию для угла а. вд: 18=2: вд    отсюда вд^2=36  вд = 6.  высота трапеции равна 6. площадь её равна  1/2 (2+18) * 6 = 60

1. правильный шестиугольник, состоит из шести равносторонних треугольников.

найдем сторону шестиугольника ab=r=48/6=8м.

рассмотрим δсdo в нем cd=do=0,5a (где а - сторона квадрата) ⇒ a=2cd

по теореме пифагора найдем   сd

r²=cd²+do²=2cd² ⇒ r=cd√2⇒ м

2.центр
вписанной в треугольник окружности - точка пересечения биссектрис его углов.

центр описанной окружности - точка пересечения срединных перпендикуляров.  

в правильном треугольнике биссектрисы, медианы и срединные перпендикуляры . центры описанной и вписанной окружности также и
лежат в точке пересечения медиан. 

r: r=2: 1, считая от вершины (свойство медиан). 

радиус r вписанной в правильный треугольник окружности ( значит, и круга) равен 1/3 его высоты.

радиус rописанной вокруг правильного треугольника окружности равен 2/3 его высоты. 
⇒r=2r

πr²=16π⇒r=4

r=2•4=8

πr²=π•8²=64π см²

3.длина окрудности равна l = 2πr   =>   r =l/2π= 36π/2π = 18

а) длина дуги на которую опирается  вписанный угол 35⁰ равна 

l = а r ,   где   а -   центральный, опирающегося
на эту же дугу (в радианах), 

т.е   а = 2*35⁰   = 70⁰

10=  π/180   радиан   =>   а = 70*π/180 = 7π/18 

  l = а r =   7π/18 *18 =7π 

б) площадь сектора,ограниченного этой дугой равна s = 0,5а r²

s = 0,5 *
7π/18 *18² = 0,5 * 7π *18   = 63π 

ответ:     а)7π;   б)63π

                          1         /     2  

                            3
      /     4  

                                  /

                       
          /

                                /

                          5  
  /     6

                        7       /     8

/   - угол

/1= 107

/2= 180-107=73 т.к. смежный =180

/2=/3=73 накрест лежащие при прямых и
секущей

/3=/6=73 накрест лежащие при прямых и секущей

/6=/7=73 накрест лежащие при прямых и секущей

/1=/4=107 накрест лежащие при прямых и секущей

/4=/5=107 накрест лежащие при прямых и секущей

/5=/8=107 накрест лежащие при прямых и секущей