Кокружности с центром о проведена касательная ac (с-точка касания найдите радиус окружности, если oa=6 см, ac=2 корня из 5 см.

aoc - прямоугольный треугольник.используем теорему пифагора (oca - прямой угол, так как радиус, проведённый в точку касаня, перпендикулярен касательной)oc^2=oa^2-ac^2

oc^2=36-20

oc^2=16

oc= 4 > 0

oc=r=4см

6^2-(2корня из 5)^2=36-4=32

r=4корня из 2

как всегда в таких случаях, все решает подобие, которое вылезает в самом неожиданном месте.

см чертеж.

прямая кn перпендикулярна отрезку, соединяющему центры. само собой, это общая касательная в точке к.

в данном случае подобны треугольники kbn и akn - у них есть общий угол kna, а углы kab и bkn измеряются половиной дуги кв, то есть тоже равны.

ак/kb = kn/nb = an/kn;

кроме того, kn = nm по свойству касательной. вобщем то уже все решено, осталось вычислить.

обозначим для краткости записи ак = а; kn = mn = x; bn = y;

учтем, что кв = 12; mb = x + y = 18; an = 24 - 18 + y = 6 + y;

получаем

a/12 = x/y = (6 + y)/x; x + y = 18;

подставляем y = 18 - x во второе равенство, получаем уравнение для х, решив, подставляем в первое, находим а : )

x/(18 - x) = (24 - x)/x; это даже не квадратное уравнение, получаем

24*18 = (24 + 18)*x; x = 72/7;

a/12 = (24 - x)/x = (24/x - 1) = 7/3 - 1 = 4/3;

a = 16;  

симпатичная, хотя и простая.

введем обозначения для краткости записи формул.

ао = m; oc = n; mo = x; oн = y; высоту треугольника амо, проведенную из вершины а к стороне мо, назовем h1, высоту треугольника осн к стороне он - h2, высоту трепеции - h;

тогда из параллельности mh к основаниям следуют соотношения

x/b = m/(m+n);

h1/h = m/(m+n);

x*h1 = b*h*m^2/(m+n)^2;

y/a = n/(m+n);

h2/h = n/(n+m);

y*h2 = a*h*n^2/(m+n)^2;

по условию x*h1 = y*h2; подставляем, получаем

a*n^2 = b*m^2 (с таким же соотношением длин я вчера сталкивался в совершенно другой :

n/m = корень(b/a);

x = b/(1+n/m) = b*корень(a)/(корень(a)+корень(b));

y = a*(n/m)/(1+n/m) = a*корень(b)/(корень(a)+корень(b));

складываем, выносим корень(a*b) за скобки, остальное сокращается.

ответ мн = корень(a*b);