Площадь треугольника abc равна 140. на стороне ac взята такая точка m, что am: cm=3: 2.биссектриса al пересекает прямую bm в точке k. найдите площадь четырехугольника mclk, если известно, что mk: bk=1: 3

23 из теста 2 для гиа по .

 

площадь треугольника abc равна 140. на стороне ac взята такая точка м, что am: cm=3: 2.биссектриса al пересекает прямую bm в точке k найдите площадь четырехугольника mclk, если известно, что mk: bk=1: 3

 

решение:

 

 

 

известно, что на стороне ac взята точка m так, что  am: cm=3: 2. таким образом, выв видите, что сторона ac содержит 3+2=5 частей. в соответствии с этим площадь треугольника  abc,   равная 140, делится прямой bm на два треугольника: abm с площадью 84 и mbc с площадью 56.

      здесь 140 квадратных единиц предварительно делим на 5 частей и получаем, что на одну часть приходится 28 квадратных единиц. тогда площадь треугольника abm составит 3 части, то есть 28*3=84 кв. единицы, и площадь треугольника mcb составит остальные 56 квадратных единиц (28*2=56).

    теперь вспомним, что бессектриса al угла a треугольника abm делит противоположную сторону bm в точке k и сам треугольник треугольник abm на 4 части в отношении  mk: bk=1: 3. в этом же отношении находятся и прилежащие стороны треугольника  abm, то есть am : ab как mk : bk. иначе говоря, am составляет 1 часть и bk составляет 3 части. 

      аналогично названная биссектрисса al делит сторону bc и сам треугольник abc на части, пропорциональные прилежащим сторонам. нам нужно вычислить отношение сторон последнего треугольника друг к другу. в силу того, что отрезок

 

известно, что на стороне ac взята точка m так, что  am: cm=3: 2. таким образом, выв видите, что сторона ac содержит 3+2=5 частей. в соответствии с этим площадь треугольника  abc,   равная 140, делится прямой bm на два треугольника: abm с площадью 84 и mbc с площадью 56.

      здесь 140 квадратных единиц предварительно делим на 5 частей и получаем, что на одну часть приходится 28 квадратных единиц. тогда площадь треугольника abm составит 3 части, то есть 28*3=84 кв. единицы, и площадь треугольника mcb составит остальные 56 квадратных единиц (28*2=56).

    теперь вспомним, что бессектриса al угла a треугольника abm делит противоположную сторону bm в точке k и сам треугольник треугольник abm на 4 части в отношении  mk: bk=1: 3. в этом же отношении находятся и прилежащие стороны треугольника  abm, то есть am : ab как mk : bk. иначе говоря, am составляет 1 часть и bk составляет 3 части. 

      аналогично названная биссектрисса al делит сторону bc и сам треугольник abc на части, пропорциональные прилежащим сторонам. нам нужно вычислить отношение сторон последнего треугольника друг к другу. в силу того, что отрезок am составлял по условию 3 части, а теперь составляет одну часть отрезок ab теперь составляет 9 частей, а отрезок mc содержит 2 части, как дано по условию . тогда сторона ac составляет 5 частей и всего ab+ac = 3 + 2 = 14 частей. легко подсчитать, что на 1 часть приходится 140 : 14 = 10 квадратных единиц площади. поэтому площадь треугольника alc будет равна 10*5=50 кв. единиц, и площадь треукгольника alb будет равна 90 кв. ед. площадь треугольника akm равна 84 : 4 = 21 (кв. ед.) тогда искомая площадь четырехугольника mclk равна 50 - 21 = 29 (кв. единиц). решена !

 

площадь  s‍1  ‍  боковой поверхности призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призмы на её боковое ребро. плоскость перпендикулярного сечения пересекает боковые грани по их высотам. поэтому периметр перпендикулярного сечения равен сумме этих высот, т.  е.  3*2=6.

‍  значит,  s‍1  =  3al = 18

‍пустьs  --‍  площадь основания призмы. площадь ортогональной проекции основания призмы на плоскость, перпендикулярную боковым рёбрам, равна площади перпендикулярного сечения, делённой на косинус угла между плоскостями основания и перпендикулярного сечения. этот угол равен углу между боковым ребром и высотой призмы, т.  е.  60‍∘.

‍  поэтому

s2= 2√3

следовательно, площадь полной поверхности призмы равна

  = 18  +  4√3

Биссектриса-это отрезок, который делит угол пополам медиана-это отрезок, который делит сторону пополам то, что в равностороннем   треугольнике   все  биссектрисы и медианы, а в равнобедренном- опущенные из угла напротив основания,  , не значит, что биссектриса делит сторону пополам, а медиана - угол пополам. нет, они сохраняют функции, данные им по определению: медиана делит сторону пополам, а биссектриса - угол, только в данном случае они накладываются друг на друга, два отрезка в одном.