Прямая касается двух окружностей с центрами о и р в точках а и в соответственно. через точку с, в которой эти окружности касаются друг друга, проведена их общая касательная, пересекающая прямую ав в точке м. найдите рм, если ав = 8 и уголсом=а.

эта проще, чем кажется.

1. вм = мс и ма = мс (по известному свойству касательных, проведенных из одной точки. дальше я очевидные вещи просто буду констатировать - но это не значит, что вам не надо их обосновывать).

таким образом, мс = ав/2.

2. рм - биссектриса угла вмс, и мо - биссектриса угла сма. в сумме эти углы составляют 180 градусов, поэтому сумма углов рмс и смо равна 90 градусов. то есть треугольник рмо - прямоугольный.

3. конечно, мс - высота к гипотенузе в этом треугольнике, и угол рмс = угол сом = а.

4. отсюда рм = мс/cos(а) = ab/(2*cos(a));

5. это всё : )

 

между прочим, треугольник авс тоже прямоугольный : не хотите доказать?

это я так, для себя больше. 

тут есть способ, который сразу напрашивается - угол всм равен половине угла врс, а угол асм - половине угла аос, и углы врс и аос в сумме равны 180 градусов. 

правильное решение, но есть более простое : ) как я уже упоминал ,точки а, в и с равноудалены от точки м, то есть если построить окружность на ав, как на диаметре, то угол вса будет вписанным углом, на него опирающимся. значит, он прямой.

 

Имеем равнобедренную трапецию abcd с основаниями bc и ad в 42 и 67 см и углом a в 60°. т.к. эта трапеция равнобедренная, то углы при основаниях будут равны. то есть, угол а = угол в = 60°. теперь проводим высоты вк и см из точек в и с. получаем два прямоугольных треугольника и один прямоугольник. вскм - прямоугольник, поэтому км = 42 см => ак + мd = 67 - 42 = 25 см. угол авк = 30°, т.к. угол вак = 60°. по свойству прямоугольных треугольников, катет, лежащая напротив угла в 30° = половине гипотенузы => ав = 25 см. а так как ав = сd, то периметр трапеции = 42+67+25*2=159 см

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. точки a,b и d не лежат на одной прямой. тогда через них проходит единственная плоскость m. докажем, что точка с также лежит в m. известно, что если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости (то есть, все точки прямой лежат в этой плоскости). точки а и в прямой a лежат в плоскости m, тогда все точки прямой a также лежат в плоскости m. точка с лежит на прямой a, тогда точка с лежит в плоскости m.   таким образом, все четыре точки а,в,с,d лежат в плоскости m, что и требовалось доказать.