Внешний угол при вершине а равнобедренного треугольника авс (ав = ас) равен 66 °. ам - медиана треугольника авс. найдите углы треугольника авм​

внешний угол равен сумме двух внутренних. не смежных с ними. это углы в и с, они равны по 33 градуса,т.к. это углы при основании равнобедренного треугольника.тогда угол а равен 180°-66°=114°

ам- медиана, проведенная из вершины равнобедренного треугольника, значит, и высота и биссектриса. раз биссектриса, то угол вам =114°/2=57° равен половине угла вас, равного 114°.

а раз высота, то угол амв равен 90°. тогда угол авм =180°-90°-57°=33°

Если обозначить диагонали ромба (х) и (у), то условие запишется: a² = x*y из прямоугольного треугольника, образованного диагоналями ромба, (известно, что диагонали ромба взаимно по т.пифагора можно записать: a² = (x/2)² + (y/2)² > > x² + y² = 4xy (x/y)² - 4(x/y) + 1 = 0          d=16-4=12 (x/y) = 2-√3          или          (x/y) = 2+√3 найденное отношение --это тангенс половины искомого меньшее выражение --тангенс острого угла (тангенс монотонно возрастает на всей области tg(α/2) = 2+√3 tg(α) = 2*tg(α/2) / (1-tg²(α/2)) tg(α) = 2(2+√3) / (-2*(3+2√3)) = -(2+√3) / (3+2√3) = -(2+√3)(3-2√3) / (-3) tg(α) = -√3 / 3 > > α = 150°

Расскажу 3-ю. пусть даны точки а и в и прямая m. 1) построим точку d, в которой искомая окружность будет касаться прямой m. a) если ab||m, то d - пересечение серединного перпендикуляра к ав с прямой m, и тем самым d построена. б) пусть прямая ав пересекает m в точке с и пусть b лежит между а и с. тогда по свойству касательной и секущей должно быть сd²=ас·bc. строим окружность с диаметром  ac, а через b проводим перпендикуляр к ac до пересечения с этой окружностью в точке e. тогда aec - прямоугольный треугольник и поэтому ec²=ас·вс. на m откладываем отрезок cd равный ec, так чтобы угол acd был острый. тем самым d найдена. 2) строим серединные перпендикуляры к ad и к bd. их пересечение и есть центр искомой окружности. p.s. если ab перпендикулярно m и a,b не лежат на m, то такую окружность, ясное дело, построить нельзя.