1.сторона основания правильного треугольника равна 12 см, точка а отстоит от всех его вершин на 8 см. найдите расстояние от а до плоскости треугольника 2. чему равно расстояние между двумя пересекающими плоскостями? 3.найдите множество всех точек , удаленных от данной плоскости пи на расстояние h 4. из концов отрезка ав, параллельного плоскости дельта, проведены к этой плоскости перпендикуляр ас и наклонная вd. вычислите длину отрезка сd, если длина данного отрезка m , длина перпендикуляра n и длина наклонной p 5. из точки а , лежащей вне плоскости дельта, проведены к этой плоскости перпендикуляр аc и наклонная ab. найдите длину отрезка cb, если длина перпендикуляра 12 см, длина наклонной 16 см.

1) основание перпендикуляра из точки а на плоскость треугольника - точка пересечения медиан (они же и высоты) правильного треугольника.

расстояние от вершины треугольника до точки пересечения медиан равно 2/3 от высоты треугольника. высота треугольника = 12 *( корень из 3) /2 тогда  расстояние от вершины треугольника до точки пересечения медиан равно 2/3 *  12 *( корень из 3) /2 = 4 *( корень из 3)

отрезок от а до вершины треугольника, расстояние от а до плоскости треугольника и  расстояние от вершины треугольника до точки пересечения медиан - образуют прямоугольный треугольник. тогда по теореме пифагора 

расстояние от а до плоскости треугольника = корень из ( 8 в квадрате - ( 4  *( корень из 3)) в квадрате ) = 4 

ответ 4 см.

 

2) расстояние между пересекающимися плскостями = 0

 

3)  множество всех точек , удаленных от данной плоскости пи на расстояние h - это две плоскости параллельные плоскоси пи и находящиеся на расстоянии  h от нее в   одной и в другой части на которые плоскость делить пространство.

 

4) сформулирована некорректно так как наклонных вд может быть десконечно много и соответсвенно длина сд не может быть определена однозначно.

 

5) перпендикуляр и наклонная образют прямоугольный треугольник авс.

по теореме пифагора св = корень из (16 в квадрате - 12 в квадрате)   = 4 * корень из 7

ответ   4 * (корень из 7) см

1. a(3; -1; 2) и b(5; 1; 1).a) bax = 3 - 5 = -2; bay = -1 -1 = -2; baz = 2 - 1 = 1ba{-2; -2; 1}б) координаты точки c,если вектор bc(3; -2; 1) и b (5; 1; 1)xc = 3 + 5 = 8; yc = -2 + 1 = -1;   zc = 1 + 1 = 2c(8; - 1; 2)в) точка d лежит на оси x  и iad|=√5 и  a(3; -1; 2)yd = 0 и zd = 0, так как точка d лежит на оси х. adx = 3 - xd; ady = 0 + 1 = 1; adz = 0 - 2 = -2 iadi²= 5 = (3 - xd)² + 1² + 2² 0 = (3 - xd)² 3 - xd = 0 xd = 3 d(3; 0; 0) 2. a(-2; 3; 1) и b(4; -1; 2)a) u = a+3bux = -2 + 3·4 = 10; uy = 3 - 3·1 = 0; uz = 1 + 3·2 = 7u{10; 0; 7}б) c(8; y; z) и b(4; -1; 2) коллинеарные векторы k = 8 : 4 = 2 y = -1 · 2 = -2 z = 2 · 2 = 4 c{8; - 2; 4} в) если скалярное произведение векторов положительно, то они сонаправлены b · c = 8 · 4 + (-2) · (-1) + 4 · 2 = 42 > 0 векторы b и с сонаправлены г) |d|=3|a| векторы а и d противоположно направлены. a(-2; 3; 1) dx = -3 · (-2) = 6; dy = -3 · 3 = -9; dz = -3 · 1 = -3d{6; - 9; -3}

По 1 аксиоме гильберта плоскость авс существует,  по 3 – м и к и , соответсвенно х принадлежат этой плоскости .  аксиоматика гильберта  1. каковы бы ни были три точки a, b и c, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.  2. каковы бы ни были три точки a, b и c, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки.  3. если две принадлежащие прямой a различные точки a и b принадлежат некоторой плоскости α, то каждая принадлежащая прямой a точка принадлежит указанной плоскости.  4. если существует одна точка a, принадлежащая двум плоскостям α и β, то существует по крайней мере ещё одна точка b, принадлежащая обеим этим плоскостям.  5. существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.