Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 5см и 6 см, боковое ребро 15. найти диагонали параллелепипеда и угол наклона диагонали к плоскости основания.

a = 5, b = 12

d = √(a² + b²) = √(25 +144) = √(169) = 13

наклон в 45° диагонали d параллелепипеда к основанию означает, что диагональ основания d и высота параллелепипеда h одинаковые

h = d = 13.

  р = 2a + 2b = 10 + 24 = 34

  sосн = a·b = 5·12 = 60

s  = 2sосн +р·н = 2·60 + 34·13 =  562(см²)

1) сумма углов треугольника 180°

в ∆ авс  ∠ авс+∠вас=180°- 40°=140°

сумма развернутых углов ∠нвс+∠кас=360°

∠нва+∠кав=360°- (∠ авс+∠вас)=360°-140°=220°

биссектрисы углов нвм и кав делят их пополам. 

сумма половин этих углов вдвое меньше. 

∠dba+∠dab=220: 2=110°

∠bda=180°-110°=70°

2) 

по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе., cd=bd, ⇒ 

∠∆ cdb- равнобедренный, ∠всd=∠abc=35°

∠всf=∠bcd+∠dcf=35°+10°=45°, т.е. равен половине прямого угла. 

⇒ cf- биссектриса ∠асв. 

3)

срединный перпендикуляр делит ав на равные отрезки ан=вн 

  ∆ аdв - равнобедренный ( dh медиана и высота). 

ас=ad+dc 

в треугольнике любая сторона меньше суммы двух других ( по т. о неравенстве треугольника). 

в  ∆ вdс сторона вс < вd+dc, а bd=ad.  ⇒ вс < ad+dc

следовательно, вс меньше ас. 

Точка Е- середина боковой стороны АВ трапеции АВСD. Докажите, что площадь треугольника ЕСD равна половине площади трапеции.

Сделаем рисунок, проведем прямую ЕК параллельно основаниям трапеции.

ЕК - средняя линия трапеции, т.к. АЕ=ВЕ, и ЕК || АD

Проведем высоту ВН, точку ее пересечения с ЕК обозначим М.

ВМ=ВН:2 =h1

МН=ВН:2=h2

S CKE=h1*EK:2

S KED=h2*EK:2

S ECD=S CEK+S KED= h1*EK:2+h2*EK:2=(h1+h2)*EK:2

Но (h1+h2)=Н ( высоте трапеции)

S ECD=H*EK:2

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований. S ABCD= H*EK= 2*H*EK:2=2 S ECD, что и требовалось доказать.

Объяснение: