Впрямоугольный треугольник вписана полуокружность так, что диаметр лежит на гипотенузе, а центр делит гипотенузу на отрезки длиной 15 и 20 см. найти площадь треугольника и длину вписанной полуокружности.

1)по свойству касательных, проведённых из одной точки, ab=ac. значит, δbac - равнобедренный. опять же, по свойтву касательных проведённых из одной точки,

< bad = < cad. из этого непосредственно вытекает, что ad - биссектриса,  проведённая к основанию, а значит и медиана. bd = cd.

2)рассмотрю δbdo, < d = 90°, так как ad ещё и высота по известному факту.

пусть bd = x, тогда по теореме пифагора r = √9+x². осталось только найти x.

3)рассмотрю δoba, < b = 90°, так как по свойству, радиус перпендикулярен касательной в точке касания.

bd - высота δoba - по доказанному выше. а высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, как в данном случае ,есть среднее между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. значит,

bd = √3*5+1/3 = √16 = 4. bd = x = 4

4)теперь подставлю в полученную выше формулу, и получу ответ:

bo = √9+x² = √9+16 = √25 = 5

решена )

1)пусть md = x. зная, что каждый катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на эту гипотенузу, составим уравнение:

mk = √mp*x

mp*x = mk²

x = mk²/mp

x = 36/10 = 3.6

2) тогда dp = mp-md = 10-3.6 = 6.4

3)по свойству, высота, проведённая к гипотенузе, равна среднему пропорциональному отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

значит,

kd = √3.6*6.4 = √23.04 = 4.8

s(mkd) = 1/2 * kd * md = 0.5 * 4.8*3.6 = 8.64

s(kdp) = 0.5 * kd * dp = 0.5*4.8*6.4 = 15.36

4)s(mkd)/s(kdp) = 8.64/15.36 = 0.5625≈0.6