Впрямоугольнике abcd ad: ab=5: 3. на сторонах ab, bc, cd и da выбраны точки e, f, m, p соответственно так, что ap: pd=2: 3, efmp - ромб. найдите отношение площадей прямоугольника и ромба.

из соображений симметрии fc=ap=2 и ae=cm=x (неизвестная длина)

ромб - четырехугольник, у которого все стороны равны:

pe=ef=fm=mp (гипотенузы треугольников pae, ebf, fcm, mdp)

по теореме пифагора

2^2+x^2=(3-x)^2+3^2

4+x^2=9-6x+x^2+9

6x=14

x=7/3

нашли все отрезки:

ae=cm=7/3

eb=md=2/3

 

далее находим сумму площадей всех треугольников pae, ebf, fcm, mdp

st=(1/2)*2*(7/3)+(1/2)*3*(2/3)+(1/2)*2*(7/3)+(1/2)*3*(2/3)=7/3+1+7/3+1=20/3

площадь прямоугольника s=5*3=15

площадь ромба s=s-st=15-20/3=25/3

 

отношение площадей прямоугольника и ромба

s/s=15/(25/3)=9/5

 

ответ: отношение площадей прямоугольника и ромба = 9/5

 

 

А. существует пятиугольник, все углы которого - острые. нет. сумма внешних углов   выпуклого многоугольника всегда 360 градусов. если все углы пятиугольника острые, то все его внешние улы больше 90 градусов, и их сумма тогда не менее 450 градусов, что противоречит действительной сумме.  б. существует четырехугольник, у которого все углы – острые. нет.сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна 360° если все его углы острые, эта сумма будет меньше 360°.  в. существует пятиугольник, все углы которого - тупые.  существует. как один из вариантов - правильный пятиугольник. его углы равны по 180°-360°/5=108°.  г. существует четырехугольник, у которого все углы – тупые. нет.    в противном случае сумма его внутренних углов больше 360° ,  что не соответствует действительной. 

Априори, здесь возможны два случая - внешний угол является смежным с одним из двух углов при основании равнобедренного треугольника или с третьим  углом, который лежит напротив основания. допустим, внешний угол является смежным с одним из углов при основании. тогда соответствующий угол при основании равен 180-80=100 градусов. так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то другой угол при основании тоже будет равен 100 градусов. очевидно, что данный случай невозможен, так как угол, равный 100 градусам является тупым, а в треугольнике не может быть больше одного тупого угла. следовательно, данный нам  внешний угол является смежным с внутренним  углом треугольника, который лежит против основания. значит, соответствующий внутренний угол треугольника равен 180-80=100 градусов. сумма всех внутренних углов треугольника равна 180 градусов, значит, сумма двух углов при основании равна 180-100=80 градусов. так как углы при основании равны, то каждый из них равен 80: 2=40 градусов. ответ: углы треугольника равны 100 градусов, 40 градусов и 40 градусов.