Угол наклона боковой грани правильной четырёхугольной пирамиды к плоскости основания равен 60 градусов.высота пирамиды 16см.найдите объём пирамиды.

есть пирамида авсде, где е - вершина, авсд - основание, т. о - пересечение диагоналей ас и вд. пусть т. к и л - середины сторон ав и сд.

рассмотрим треугольник кео: угол вео=180-кое-еко=180-90-60=30. значит ко - катет, лежащий против угла в 30 градусов. тогда ке=2ко. 

ке^2=ko^2+oe^2

(2ko)^2=ko^2+oe^2

ko=4/√3. кл=2ко=8/√3

s(основания)=ад^2=(4/√3)^2=48

v=1/3*s*ое=1/3*48*16=256

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соединив данную точку с вершинами треугольника, получим треугольную пирамиду с равными (это  вытекает из  условия) рёбрами.  но тогда будут равны и их проекции на плоскость треугольника и  на плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника. так как вторые проекции лежат на прямых, проходящих через вершину пирамиды и  пересекающих плоскость треугольника    в одной точке (равноудалённой от вершин треугольника), то эти проекции ). но по условию через вершину пирамиды и данную точку проходит и данная в условии прямая. а это значит, что она совпадает с проекцией рёбер пирамиды на плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника. но эта проекция, а вместе сней и данная прямая, перпендикулярна плоскости треугольника.

точка  e  равноудалена от прямых  ad,  bc  и  ab, поскольку она лежит на биссектрисах  de  и  be  углов  adc  и  abc. значит,  e  – центр вневписанной окружности треугольника  adb. поэтому точка  e  лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине  a  треугольника  abd,  а так как  ad  – биссектриса угла  bac, то лучи  ae  и  ad  делят развёрнутый угол с вершиной  a  на три равных угла. следовательно, каждый из них равен 60°, а ∠bac  = 120°.