Nдиаметров делят окружность на равные дуги. доказать что основания перпендикуляров , опущенных из произвольной точки м внутри окружности на эти диаметры, являются вершинами правильного многоугольника

о - центр окружности. если построить вторую окружность - на отрезке мо, как на диаметре, то все основания [заданных в перпендикуляров будут лежать на этой окружности (надо объяснять, почему? : ) - потому что мо - диаметр : ) ). кроме того, поскольку углы между [заданными в диаметрами первой окружности  одинаковые, а во второй окружности это вписанные углы, то основания перпендикуляров делят вторую окружность   на равные дуги. а равным дугам, как известно, соответствуют равные хорды [второй окружности]. поэтому основания перпендикуляров являются вершинами правильного n - угольника, где n - число диаметров первой окружности. чтд.

можно было бы усложнить условие, задав в начале не n диаметров, а правильный многоугольник с четным числом вершин, например, 2m. тогда основания перпендикуляров, опущенные на большие диагонали, образуют правильный m-угольник. 

сразу возникает вопрос, а что будет, если исходный правильный многоугольник имеет нечетное число сторон 2m + 1?

ну, и еще : ) а если точка м лежит за пределами окружности, что это меняет?

1) треугольник получается равнобедренный, в котором ас и вс - боковые стороны, ав - основание. проведем высоту сн. у нас получится прямоугольный треугольник сна, где угол н - прямой. в равнобедренном треугольнике высота проведенная к основанию является и биссектрисой и высотой. значит вн=на=16/2=8 далее по теореме пифагора находим сн. сн = кв. корень (10*10-8*8) = 6 синус а = сн/са = 6/10 = 3/5 2) треугольник получается равнобедренный, в котором ас и вс - боковые стороны, ав - основание. проведем высоту сн. у нас получится прямоугольный треугольник сна, где угол н - прямой. в равнобедренном треугольнике высота проведенная к основанию является и биссектрисой и высотой. значит вн=на сн = св*синусв = 10*0,8 = 8 вн=на=кв.корень (10*10-8*8) = 6 ав = вн+на = 6+6 = 12

треугольник авс, угола=90, точка м касание на вс , вм=3, см=10, точка н касание на ас,

точка р касание на ав

мс=сн как касательные проведенные из одной точки = 10,

вм = вр=3, как касательные из одной точки,

ан=ар= а , как касательные из одной точки

ас = а + 10, ав = 3 + а

вс в квадрате = ав в квадрате + ас в квадрате

169 = (а+10) в квадрате + (3+а) в квадрате

2 х а в квадрате + 26а - 60=0

а = (-26 +-(плюс. минус) корень (676 + 4 х 2 х 60)) / 2 х 2

а = (-26+- 34)/4

а =4

ас = 4+10=14, ав=4+3=7

площадь = 1/2ас х ав = 1/2 х 14 х 7 =49