Вычислить площадь боковой и полной поверхности правильной треугольной пирамиды, все ребра которой равны по 20 см.

площадь боковой поверхности состоит из трех равносторонних треугольников со сторонами по 20см. sбп =3 sqrt(3)*a^2/4 = 300sqrt(3)

полная включает в себя еще один треугольник - основание. s=400sqrt(3)

 

  положим что окружность вписанная в треугольник abc касается ab,bc,ca в точках n,m,x , аналогично окружность acd касается cd,da,ca в точках   g,l,k по условию окружности касаются друг друга следовательно x=k. тогда ax=an, bn=bd, cd=cx тоже самое cg=cx , gd=ld, al=ax тогда получим ab+cd=bc+ad (свойства описанного четырехугольника), теперь удобнее всего воспользоваться достаточным условием вписанности в четырехугольник окружности, оно гласит что в четырехугольник abcd можно вписать окружность тогда, когда окружности вписанные в треугольники abc и adc или bcd и abd касаются друг друга.  это можно доказать отдельно, если расписать все по отрезкам касательных и воспользоваться тем, что ab+cd=bc+ad.  

Рассмотрим треугольник, образованный высотой, биссектрисой и гипотенузой. косинус угла между высотой и биссектрисой будет равен cos(fi)=h/l fi = arccos(h/l) угол между высотой и меньшим катетов составит gamma=45-arccos(h/l) этот же угол будет являться наименьшим углом исходного треугольника, в силу подобия исходному двух малы треугольников, на которые высота делит исходный. для нахождения площади разобьём исходный треугольник на три фигуры - 1. квадрат, построенный на биссектрисе как диагонали s1=1/2*l^2 2. длинный треугольник с катетом l/√2 и противолежащим ему углом gamma его площадь s2=1/2*l/√2*l/√2/tg(gamma)=l^2/4*ctg(gamma) 3. треугольник покороче, с катетом l/√2 и прилежащим к нему углом gamma s3=l^2/4*tg(gamma) суммарная площадь s=l^2/4(2+tg(gamma)+ctg(gamma)) подставим наши числовые данные gamma=45-arccos(5/7)=0.5847° остренький угол : ) s=1/16(2+tg(0.5847°)+ctg(0.5847°))=12.25