Найдите площадь прямоугольного треугольника , если радиусы его вписанной и описанной окружностей равны 2 см и 5 см.

A,b,c - стороны треугольника в прямоугольном треугольнике       a +b = 2r +2r,s =1/2 ab.возведем в квадрат:       a²+b²+2ab =(2r +2r)²                                          c² +4s = 4 (r +r)²                                                                            c = 2r                                                                            4r² +4s= 4(r +r)²                                        s = 2rr +r²                                        s =2*5+2²=10+4=14см²  ответ: 14см²

пусть ad> bc , тогда острые углы равные 75 и 15 гр лежат при оснований ad , положим что y,w середины сторон ab и cd соответственно , тогда yw средняя линия трапеции , значит ad+bc=2yw из условия мы знаем что yw равна либо 15 либо 7 , положим что ab и cd пересекаются в точке e , тогда aed=180-(75+15)=90 , положим также что z,x это середины сторон основании bc,ad соотвественно , пусть n точка пересечения yw и zx , тогда по замечательному свойству трапеции точки e,z,x лежат на одной прямой , учитывая что угол aed прямой , получаем что ax=ex=ad/2 , ez=bz=bc/2 , но так как ex=ez+zx откуда окончательно получаем две системы  

{ad-bc=2*7  

{ad+bc=2*15  

или  

{ad-bc=2*15  

{ad+bc=2*7  

подходит решение первой системы , так как они положительны , складывая получаем ad=22 , bc=8 , значит ответ bc=8.

все просто: находим координаты отрезков - сторон четырехугольника (векторов) и их длину (модуль):  

ав{2-0; 5-1} или ав{2; 4}. |ab|=√(4+16)=√20.  

bc{4-2; 1-5} или вс{2; -4}. |bc|=√(4+16)=√20.  

cd{2-4; -3-1} или cd{-2; -4}. |cd|=√(4+16)=√20.  

ad{2-0; -3-1} или ad{2; -4}. |ad|=√(4+16)=√20.  

мы видим, что противоположные стороны четырехугольника попарно равны, а это признак параллелограмма.  

значит авсd - параллелограмм, в котором все стороны равны, а это признак ромба.  

итак, abcd - параллелограмм и ромб, что и требовалось доказать.