Саша разрезал головку сыра весом 360 грамм на 10 кусков, среди которых могли быть равные, и съел самый маленький кусок (возможно, один из нескольких одинаковых самых маленьких потом он разрезал один из кусков на 2 и съел самый маленький кусок из десяти. эту операцию (разрезание и съедание) он сделал еще раз. оказалось, что он съел целое количество грамм сыра. какое максимальное количество сыра он мог съесть? выведите ответ в граммах без букв, например, 67.

ответ: 359.

Решение. 
Начнём с простого наблюдения.

Лемма. Если на каком-то шаге все куски одинаковой массы m, то можно путём указанных операций сделать так, чтобы все куски стали массой m/2.
Доказательство. На первом шаге съедаем кусок массы m и разрезаем другой кусок массы m. Получится 8 кусков массы m и 2 куска массы m/2. Теперь 8 раз съедаем куски m/2 и распиливаем куски массы m.

Перейдём к собственно решению. Понятно, что Саша не мог съесть весь сыр. Поэтому, поскольку он съел целое число граммов сыра, он мог съесть не более, чем 360 - 1 = 359 граммов. Покажем, как он это мог сделать.

Пусть изначально головка сыра была разрезана так: 5 кусков по 512/9 г, 2 куска по 256/9 г, 1 кусок 128/9 г, 1 кусок 32/9 г, 1 кусок 8/9 г (легко проверить, что сумма всех масс равна 360).

Сначала съедим куски массой 8/9, 32/9, 128/9 и распилим три куска по 512/9 г. Останется 2 куска по 512/9 и 8 кусков по 256/9. Затем дважды съедим куски по 256/9 и разрежем оставшиеся куски по 512/9. После этого будет 10 кусков по 256/9.

Уменьшим размер каждого куска в 256 раз (воспользуемся 8 раз процессом, описанным в лемме). Тогда останутся 10 кусков массой 1/9 г. Съедаем один кусок и распиливаем любой оставшийся кусок. Несъеденная масса 9 * 1/9 = 1 г, значил, съел Саша 360 - 1 = 359 г сыра.

1. A & B: В Африке водятся жирафы, и в Мурманске идёт снег.
A | B: В Африке водятся жирафы, или в Мурманске идёт снег.
A xor B: В Африке водятся жирафы, или в Мурманске идёт снег, но не одновременно.
A -> B: Если в Африке водятся жирафы, то в Мурманске идёт снег.
!A & !B: В Африке не водятся жирафы, и в Мурманске не идёт снег.
Возможны и другие высказывания. & - логическое и, | - логическое или, xor - исключающее или, ! - отрицание, -> - импликация.

2. A = "Винни-Пух любит мёд"
B = "Дверь в дом открыта"
Исходное высказывание через A, B записывается так: A & B.
Нужно построить отрицание !(A & B). По законам де Моргана это еще эквивалентно такому: !A | !B.
!(A & B) = Неверно, что Винни-Пух любит мёд и дверь в дом открыта.
!A | !B = Винни-Пух не любит мёд или дверь в дом закрыта.

Таблица истинности:

yxwz

Объяснение:

Чтобы значение функции (¬x ≡ z) → (y ≡ (w ∨ x)) было ложным, выражение ¬x ≡ z должно быть истинным, а выражение y ≡ (w ∨ x) – ложным. Чтобы первое выражение было истинным, переменные x и z должны иметь противоположные значения: 0 и 1 или 1 и 0.

Рассмотрим третью строку таблицы. Три переменных равны нулю, F = 0. Значит, оставшаяся переменная (переменная 2 в таблице) равна 1, и это z или x. Тогда y = 0, w = 0, и чтобы выражение y ≡ (w ∨ x) было ложным, необходимо, чтобы x = 1. Значит, второй столбец – x. Другой подходящей комбинации с тремя нулями быть не может, значит, в пустых клетках в первой и второй строках таблицы должны стоять единицы.

Поскольку x и z должны иметь разные значения, а x – это переменная 2, из первой и второй строк таблицы видим, что z – переменная 4.

Рассмотрим вторую строку. В ней x = 1, тогда w ∨ x= 1 независимо от значения w, и чтобы выражение y ≡ (w ∨ x) было ложным, необходимо, чтобы y = 0. Получается, что y – переменная 1, w – переменная 3.