Примеры современных цифровых устройств

Электронные часы, Цифровая камера, Сканер, Веб-камера, Принтер, Проектор.

Каждая из компонент связности должна быть кликой (иначе говоря, каждые две вершины в одной компоненте связности должны быть связаны ребром). Если в i-ой компоненте связности вершин, то общее число рёбер будет суммой по всем компонентам связности:



Требуется найти максимум этого выражения (т.е. на самом деле - максимум суммы квадратов) при условии, что сумма всех ni равна N и ni - натуральные числа.

Если K = 1, то всё очевидно - ответ N(N - 1)/2. Пусть K > 1.

Предположим, n1 <= n2 <= ... <= nK - набор чисел, для которых достигается максимум, и n1 > 1. Уменьшим число вершин в первой компоненте связности до 1, а оставшиеся вершины "перекинем" в K-ую компоненту связности. Вычислим, как изменится сумма квадратов:

Поскольку по предположению n1 > 1 (тогда и nK > 1), то сумма квадратов увеличится, что противоречит предположению о том, что на выбранном изначально наборе достигается максимум. Значит, максимум достигается, если наименьшая по размеру компонента связности - изолированная вершина. Выкинем эту компоненту связности, останутся K - 1 компонента связности и N - 1 вершина. Будем продолжать так делать, пока не останется одна вершина, тогда получится, что во всех компонентах связности кроме последней должно быть по одной вершине.

Итак, должно выполняться


Подставив в исходную формулу, получаем


Это и есть ответ.

Var
a:array[1..100,1..100] of integer;
c:array[1..20,1..20] of real;
b:array[1..20,1..20] of real;
i,j,n,k:integer;
t:real;
r:integer;
begin
randomize;
t:=0;
Writeln('Введите порядок матрицы: ');
readln(n);
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
begin
a[i, j] := random(10); 
end;
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
begin
b[i,j]:=1/i+j-1;
end;
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
begin
for k:=1 to n do
begin
t :=t+a[i,k]*b[k, j];
end;
c[i,j]:=t;
t:=0;
end;
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
begin
write(' ',c[i,j]:2:2);
end;
Writeln;
end;

end.