.Дано начальное положение автомобиля на координатной прямой – A (одна клетка – 1 км. Затем автомобиль начал движение. Сначала он двигался со скоростью v1 км/ч вправо n1 часа, затем v2 км/ч влево n2 часа. Найти конечное положение автомобиля.

ответ:Алгоритм Карацубы — метод быстрого умножения со сложностью вычисления nlog23. В то время, как наивный алгоритм, умножение в столбик, требует n2 операций. Следует заметить, что при длине чисел короче нескольких десятков знаков (точнее определяется экспериментально), быстрее работает обычное умножение.

Представим, что есть два числа A и B длиной n в какой-то системе счисления BASE:

A = an-1an-2...a0

B = bn-1an-2...a0, где a?, b? — значение в соотв. разряде числа.

Каждое из них можно представить в виде суммы их двух частей, половинок длиной m = n / 2 (если n нечетное, то одна часть короче другой на один разряд:

A0 = am-1am-2...a0

A1 = an-1an-2...am

A = A0 + A1 * BASEm

B0 = bm-1bm-2...b0

B1 = bn-1bn-2...bm

B = B0 + B1 * BASEm

Тогда: A * B = ( A0 + A1 * BASEm ) * ( B0 + B1 * BASEm ) = A0 * B0 + A0 * B1 * BASEm + A1 * B0 * BASEm + A1 * B1 * BASE2 * m = A0 * B0 + ( A0 * B1 + A1 * B0 ) * BASEm + A1 * B1 * BASE2 * m

Здесь нужно 4 операции умножения (части формулы * BASE? * m не являются умножением, фактически указывая место записи результата, разряд). Но с другой стороны:

( A0 + A1 ) * ( B0 + B1 ) = A0 * B0 + A0 * B1 + A1 * B0 + A1 * B1

Посмотрев на выделенные части в обоих формулах. После несложных преобразований количество операций умножения можно свести к 3-м, заменив два умножения на одно и несколько операций сложения и вычитания, время выполнения которых на порядок меньше:

A0 * B1 + A1 * B0 = ( A0 + A1 ) * ( B0 + B1 ) — A0 * B0 — A1 * B1

Окончательный вид выражения:

A * B = A0 * B0 + (( A0 + A1 ) * ( B0 + B1 ) — A0 * B0 — A1 * B1 ) * BASEm + A1 * B1 * BASE2 * m

Объяснение: