Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может а) добавить в любую кучу один камень; б) добавить в любую кучу столько камней, сколько их в данный момент в другой куче. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 80. В начальный момент в первой куче было 8 камней, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 71. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Назовите минимальное значение S, при котором это возможно. A. Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: − Петя не может выиграть за один ход; − Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания. B. . Для игры, описанной в задании 1, найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия: – у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; – у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Хорошо, давайте решим эту задачу поэтапно.

а) Найдем минимальное значение S, при котором Ваня выиграет своим первым ходом после неудачного первого хода Пети.

Пусть в начальный момент Петя добавляет в первую кучу один камень, тогда в первой куче будет 9 камней. Ваня добавляет во вторую кучу столько камней, сколько их в данный момент в другой куче, то есть 9 камней. Теперь в первой и второй кучах у нас 9 камней.

На втором ходу Петя добавит в первую кучу еще один камень, и теперь в первой куче будет 10 камней. Ваня добавляет во вторую кучу столько камней, сколько их в данный момент в другой куче, то есть 10 камней. Теперь в первой и второй кучах у нас 10 камней.

На третьем ходу Петя добавит в первую кучу один камень, и теперь в первой куче будет 11 камней. Ваня добавляет во вторую кучу столько камней, сколько их в данный момент в другой куче, то есть 11 камней. Теперь в первой и второй кучах у нас 11 камней.

Таким образом, Ване удается выиграть за 3 хода после первого неудачного хода Пети. Минимальное значение S, при котором это возможно, равно 11.

б) Теперь найдем два значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия и он может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Один из возможных вариантов - если S = 1. В начальный момент первая куча содержит 8 камней, а вторая куча содержит 1 камень. Петя добавляет в первую кучу один камень, и вторая куча остается без изменений. Теперь в первой и второй кучах у нас 9 камней.

На втором ходу Ваня добавляет в первую кучу один камень, и они становятся равными, в обеих кучах по 9 камней. Здесь у Пети есть возможность выиграть своим вторым ходом. Он может добавить в первую кучу 9 камней, и тогда в обеих кучах будет 18 камней, что является не менее 80.

Еще один вариант - если S = 29. В начальный момент первая куча содержит 8 камней, а вторая куча содержит 29 камней. Петя добавляет в первую кучу один камень, и вторая куча становится равной первой - 9 камней.

На втором ходу Ваня должен добавить в первую кучу не меньше 9 камней, чтобы Петя не смог выиграть за один ход. После очередного хода Вани количество камней в первой и второй кучах равны 9.

На третьем ходу Петя добавит в первую кучу один камень, и вторая куча становится равной первой - 10 камней.

Ваня должен добавить в первую кучу не меньше 10 камней, чтобы Петя не смог выиграть за один ход. После очередного хода Вани количество камней в первой и второй кучах снова станут равными 10.

Теперь у Пети есть возможность выиграть своим вторым ходом. Он может добавить в первую кучу 10 камней, и тогда в обеих кучах будет 20 камней, что является не менее 80.

Таким образом, два значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия и он может выиграть своим вторым ходом независимо от ходов Вани, равны 1 и 29.

в) Для третей части задания необходимо знать текст задачи.