Борьба за какой город Киевской Руси с татаро-монгольским войском была самой длительной и кровопролитной и почему?

Козельск. Его осада длилась 8 недель

Гетьма́нщина, або Ві́йсько Запоро́зьке — українська козацька держава[6][7][8][9][10] на території Наддніпрянщини, Сіверщини, Полісся та Східного Поділля. Веде свій початок від найбільшого козацького повстання в Речі Посполитій (Республіці Обох Націй) — Хмельниччини. Головою виступав виборний гетьман. З 1654 перебувала під протекторатом московського царя. Протягом другої половини XVII — початку XVIII століття, під час громадянської війни — часу розколу та правління окремими територіями різних гетьманів, останні, в боротьбі за єдиновладдя, визнавали верховенство Московського царства, Речі Посполитої та Османської імперії.

У 1667 році за Андрусівським миром розділена по Дніпру на Правобережну і Лівобережну Україну. Після остаточного скасування в Речі Посполитій козацького устрою на Правобережжі в 1699 році продовжила існування лише на теренах Лівобережжя. Виконувала роль заслону від Московського царства для її військових супротивників. У 1709 році, під час Великої північної війни, невдало намагалася перейти під протекторат Шведської імперії. Протягом 18 століття поступово втратила політичну й економічну автономію. 1764 року наказом імператриці Катерини ІІ інститут гетьмана скасовано, а ще через рік Гетьманщину реформовано в Малоросійську губернію.

Оскільки з середини XIV й до 1780-х саме городові козаки були найчисленнішою групою служилого стану Гетьманщини, її також іноді згадують як Військо запорозьке Городове.

1 и 2 на фото,
3)Т.к. диагональ АС перпендикулярна стороне СЕ, получаем прямоугольный треуг-ик АСЕ. Рассмотрим его. Зная, что сумма острых углов прямоугольного треуг-ка равна 90°, находим неизвестный угол ЕАС:
Т.е. прямоугольный АСЕ - равнобедренный, т.к. углы при его основании АЕ равны. АС=ЕС.
Высота СН равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является также медианой. Значит АН=ЕН.
Рассмотрим прямоугольные треуг-ики АВС (он прямоугольный, т.к. трапеция прямоугольная) и АНС. Они равны по одному из признаков равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треуг-ка соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треуг-ки равны. В нашем случае:
АС - общая гипотенуза
АВ=СН (АВ является по сути той же высотой трапеции).
Значит, ВС=АН
Но АН=1/2АЕ, значит
ВС=1/2АЕ.
(Чертёж на фото)
4)на фото(+там же 3 сверху)
5)на фото