Усаши а марок, а у федора с марок.сколько марок нужно добавить федору, чтобы у саши и федора марок было поровну?

допустим, есть натуральное число n. его квадрат -- это . по условию, и . так как правые части равны, приравняем левые части и найдём икс:

.

при x=1 получаем: 3*1+1=4 и 6*1-2=4. четыре -- это точный квадрат двойки. а число 6*1*1-1=5 -- простое. значит, число 1 удовлетворяет всем трём условиям.

таких натуральных чисел больше не существует. при решении уравнения мы получили лишь один корень -- единицу. можно методом подбора по ряду квадратов найти ещё корни. какие-то из них будут соответствовать одному условию, какие-то -- одновременно двум (первому и второму, или первому и третьему, или второму и третьему). но не найдётся ни одного числа, которое одновременно удовлетворяло бы сразу трём условиям.

ответ: x=1.

рассмотрим всевозможные тройки чисел из заданных четырех. их число будет равно числу сочетаний из четырех чисел по три: c(n,k) = n! /k! (n-k)! = 4! /3! *1! = 4. обозначим исходные числа через a, b, c и d. выпишем произведения этих троек: abc, abd, acd и bcd. по условию все они являются точными квадратами, т. е. abc = k², abd = l², acd = m² и bcd = n², где k, l, m и n - целые. докажем, что и произведение всех четырех исходных чисел является полным квадратом. т. к. a = k²/bc, b = l²/ad, c = m²/ad и d = n²/bc, то abcd = k²*l²*m²*n²/a²*b²*c*d² = (klmn/abcd)² = i², где i - целое. тогда a = abcd/bcd = i²/n² = (i/n)², b = abcd/acd = i²/m² = (i/m)², c = abcd/abd = i²/l² = (i/l)² и d = abcd/abc = i²/k² = (i/k)² тоже являются полными квадратами.