Скільки кубів із ребром 1 см уміщує прямокутний паралелепіпед , ребра якого = 3см, 4 см, 6см

Пусть лягушонок стартует в точке . Тогда, если какие-то две точки повторились, то лягушонок побывал также в точке дважды, т.е. мы попали в цикл. Если мы покажем, что уравнение имеет решение при любом , то цикл будет состоять из всех точек, и лягушонок побывает во всех точках по одному разу, а затем вернется в точку ;

Докажем для начала, что если существует решение для остатков , то существует решение для остатка . Это вполне очевидно сложим два уравнения для остатков . Теперь, в частности, если существует решение для , то существует решение для всех остатков. То есть нам надо решить диофантово уравнение ; Для этого сразу положим ; Пусть ;

Тогда из числа нам нужно получить число ; Но мы умеем прибавлять единицу: . То есть ; Иными словами, получили решение , но нам нужно решение в натуральных числах. Не во добавим к 2020, а к добавим 99. Получим решение: .

Итак, план действий следующий.

Пусть мы находимся в точке . Прыгаем 41 раз на 100 и 1999 раз на 99. Теперь мы в точке . Таким образом, мы посетим все точки.

Главное, что были использованы все цифры!

Цифрам буду давать номера слева на право (1ая - самая левая).

Максимально возможная первая цифра это 6, т.к. после неё больше будут только 7, 8, 9, всего 3. Почему стоит начать с неё, разберёмся позже. Каждая следующая цифра (для первых ) меньше предыдущей т.к. должны использоваться все цифры, а если следующая будет больше, то не получится "3333", будет "321...". 5ая цифра должна быть больше 1ой, чтобы сбросилось кол-во больших цифр с 3 до 2. Аналогично недавним рассуждениям, 6ая и 7ая цифра должны быть меньше предыдущей, приэтом 6ая меньше 4ой. Далее 8ая больше 5ой. 9ая меньше 7ой. 10ая больше 8ой.

Мы получили, что после 1ой цифры должно быть 6 цифр, которые меньше её. Наименьшее возможное это 6 т.к. меньше её 5, 4, 3, 2, 1, 0 всего 6. Единственно возможная первая цифра это 6. Таким образом, после рассуждений, получим число.

ответ: 6543721809