Три мотоциклиста едут по кругу с постоянными, но разными скоростями, первый и второй - по часовой стрелке, третий — против часовой стрелки, причём скорость второго больше, чем скорость первого. они стартуют одновременно из точки . в момент, когда второй мотоциклист проехал ровно 8 кругов (т.е. в 8-й раз вернулся в точку ), состоялась его 3-я встреча с первым мотоциклистом и 20-я встреча с третьим. какая по счёту встреча первого и третьего мотоциклистов произошла в этот момент? (встречи отсчитываются после начала движения. пребывание мотоциклистов в точке в начальный момент времени встречей не считается.)

Кто решает олимпиаду по за 10 класс вступаем в беседу

63378    |    63               63              1006   0     378     378         0 153216    |    38                 152              4032     121     114         76         76           0 1334504    |    214                     1284              6236      505     428       770       642       1284       1284             0

доказать, что

а^2+1/2 ≥ a.

доказательство:

первый способ:

оценим разность:

(а^2+1/2) - a = а^2 - a + 1/2 = а^2 - 2•a•1/2 + 1/4 - 1/4 + 1/2 = (а - 1/2)^2 - 1/4 + 2/4 = (а - 1/2)^2 + 1/4 ;

так как

(а - 1/2)^2 ≥ 0 при любом значении а, то и

(а - 1/2)^2 + 1/4 ≥ 1/4 ≥ 0.

так как разность неотрицательна, то по определению

а^2+1/2 ≥ a при любых значениях а.

неравенство доказано.

второй способ:

а^2+1/2 ≥ a

а^2 - a + 1/2 ≥ 0

рассмотрим функцию

у = а^2 - a + 1/2 - квадратичная, графиком является парабола.

т.к. старший коэффициент равен 1, 1> 0, то ветви параболы направлены вверх.

d = 1 - 4•1•1/2 = 1 - 2 = - 1 < 0, то

функция нулей не имеет, парабола не пересекает ось абсцисс, а поэтому

у > 0 при всех значениях а,

а^2 - a + 1/2 > 0 при любом а, следовательно, и а^2 - a + 1/2 ≥ 0, неравенство а^2+1/2 ≥ a доказано.