Имеются упаковки, содержащие по 5 и 8 одинаковых книг. какое число книг можно выдать целым числом упаковок?

5, 8, 10, 13, 15, 16, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30 и т.д

Многочлен P(x) таков, что многочлены P(P(x)) и

P(P(P(x))) строго монотонны на всей вещественной оси.

Докажите, что P(x) тоже строго монотонен на всей вещественной оси.

Так как многочлен P(P(x)) монотонен, то

он обязан иметь нечетную степень, а тогда он принимает все ¨

вещественные значения.

Пусть a > b, тогда найдутся такие числа xa и xb

, что

P(P(xa)) = a, P(P(xb

)) = b. Так как старший коэффициент

многочлена P(P(x)) всегда положителен, то этот многочлен возрастает, поэтому xa > xb

.

Если старший коэффициент многочлена P(x) положителен,

то многочлен P(P(P(x))) возрастает; отсюда получаем, что

P(P(P(xa))) > P(P(P(xb

))), то есть P(a) > P(b) для любых

a > b. Если же старший коэффициент отрицателен, то, аналогично, P(P(P(xa))) < P(P(P(xb

))), откуда P(a) < P(b) для любых a > b.

Если к числу n прибавить 6, оно разделится на 7. значит, оно делится на 7 с остатком 1. n = 7x+1; n+6 = 7x+7 = 7(x+1). если к числу n прибавить 7, оно разделится на 8. значит, оно делится на 8 с остатком 1. n = 8x+1; n+7 = 8y+8 = 8(y+1). если к числу n прибавить 8, оно разделится на 9. значит, оно делится на 9 с остатком 1. n = 9z+1; n+8 = 9z+9 = 9(z+1). а на 5 оно делится нацело. n = 5t. вычтем из него 1 и получим число, которое делится на 7, 8 и 9 сразу. n - 1 = 7x = 8y = 9z наименьшее такое число n0 - 1 = 7*8*9 = 504, следующие числа 504*2 = 1008, 504*3 = 1512, 504*4 = 2016, 504*5 = 2520, 504*6 = 3024, 504*7 = 3528, 504*8 = 4032, 504*9 = 4536. так как n делится на 5 нацело, то оно кончается на 5 или на 0. тогда n-1 кончается на 4 или на 9. на 9 нет вообще, а на 4 кончается 504*6. следующее 4-значное число, кончающееся на 4: 504*16 = 8064. третье такое число уже будет пятизначным. 504*26 = 13104. итак, наши числа n = 3024 + 1 = 3025 и 8064 + 1 = 8065. ответ: 3025 и 8065. посчитано в уме, без калькулятора!